偏微分方程式

　本節では、楕円型偏微分方程式として、次の方程式：

(4-1)  - D u = f

を考えます。ただし、D はn次元のLaplacianで、方程式 (4-1) をPoisson方程式と呼びます。特に f = 0 のときの (4-1) をLaplace方程式と呼び、その解を調和関数といいます。
　さて、(4-1) を空間変数に対してFourier変換すれば、

(4-2)  k²

Ù u(k) =

Ù  f(k)

　この解は原点に台を持つ超関数で、k²F(k) = 0 となる F だけの任意性を持ち、解の一意性は成り立ちません。次に解の存在について考えます。G を基本解とすると、

(4-3)  k²

Ù G(k) =

Ù d(k) = 1

が成り立ちます。そこで、まず n ³ 3 の場合を考えます。k^-2 は Rⁿ で局所可積分で S_n' に属すので、(4-3) の両辺を k² で割ってFourier逆変換すれば、

(4-4)  G(x) =

1  ——–  (2p)n

lim e®0

ò

Rn

eik·x - ek² ————–  k²

dk

　一方、

(4-5)

ò

¥    e- tk² dt = 0

1 —–  k²

ですから、(4-4) は、

(4-6)  G(x)	= lim e®0 1  ——–  (2p)n ò Rn dk ò ¥    ei k·x - ek² - tk² dt 0
	= lim e®0 1  ——–  (2p)n ò  ¥   dt e ò Rn ei k·x - tk² dk      ( t = t + e )
	= lim e®0 ò  ¥   £ -1[gt,0,0](x)dt e
	= lim e®0 ò  ¥ e g1/(4t),0,0(x) ————— (4pt)n/2 dt
	= ò  ¥ 0 e-r²/(4t) ———— (4pt)n/2 dt      ( r = | x | )
	= ò  ¥ 0 æ è s —— pr² ö ø n — 2 r² —– 4s² e-s ds       æ è s = r² —– 4t ö ø
	= 1  ———– 4pn/2rn-2 ò  ¥    s n/2 - 2 e-s ds 0
	= G(n/2-1)  ———— 4pn/2rn-2

と書くことができます。ちなみに (4-6) の右辺で形式的に n = 1 と置くと

(4-7)  G(x) =

G(-1/2)r ———— 4Öp

= -

2G(1/2)r ———— 4Öp

= -

r —– 2

= -

| x | —– 2

となりますが、

(4-8)  G'(x) =

H(-x) - H(x) —————– 2

(4-9)  DG(x) = G"(x) =

- d(-x) - d(x) —————— 2

= - d(x)

となるので、これは実際に n = 1 の場合の方程式 (4-1) の基本解になっています。

　次にに n = 2 の場合を考えます。

(4-10)

Ù GT (k) =

1 - e-k²T ————  k²

- (p log T )d(k) =

ò

T   e-k²t dt - (p log T )d(k) 0

と置くと、

(4-11)  á	Ù GT , j ñ	= ò T    dt 0 òR² e-k²t j(k) dk - (p log T)j(0)
		= ò 1    dt 0 òR² e-k²t j(k) dk + ò T 1  dt —–  t òR² e-s² {j(t-½ s) - j(0)} ds      ( s = t½k )

　この右辺の被積分関数について、評価式：

(4-12)  |j(t-½ s) - j(0)| £ K ||j||0,1 t-½ |s|

が成り立ちますから、(4-11) は T ® ¥ のとき収束することがわかります。また (4-10) により、

(4-13)  k²

Ù GT (k)

= 1 - e-k²T - (p log T ) k²d(k) = 1 - e-k²T ® 1   ( T ® ¥ )

　ゆえに、(4-10) のFourier逆変換を G_T と書けば、G_T は、T ® ¥ のとき、ある基本解 G に収束することがわかります。G を実際に計算すると、

(4-14)  G(x)	= lim T®¥ 1 ——– (2p)² æ ç è lim e®0 òR² dk ò T    ei k·x - ek² - tk² dt - p log T 0 ö ÷ ø
	= lim T®¥ æ ç è lim e®0 1 ——– (2p)² ò T+e   dt e òR² ei k·x - tk² dk - log T ——— 4p ö ÷ ø       ( t = t + e )
	= lim T®¥ æ ç è lim e®0 1 ——– (2p)² ò T+e    £ -1[gt,0,0](x)dt - e log T ——— 4p ö ÷ ø
	= lim T®¥ æ ç è lim e®0 ò T+e e g1/(4t),0,0(x) —————–  4pt  dt - log T ——— 4p ö ÷ ø
	= lim T®¥ æ ç è ò  T 0 e-r²/(4t) ———–  4pt  dt - log T ——— 4p ö ÷ ø
	= lim T®¥ æ ç è ò  ¥ r²/(4T) s —– pr² r² —– 4s² e-s ds - log T ——— 4p ö ÷ ø        æ è s = r² —– 4t ö ø
	= 1 —– 4p lim T®¥ æ ç è ò  ¥ r²/(4T)  e-s —–  s  ds - log T ö ÷ ø
	= 1 —– 4p lim T®¥ æ ç è ò  ¥      e-s r²/(4T) d log s ——— ds - log T ö ÷ ø
	= 1 —– 4p lim T®¥ æ ç è e-s log s ½ ½ ½ ¥ s = r²/(4T) + ò  ¥     e-s log s ds - log T r²/(4T) ö ÷ ø
	= 1 —– 4p lim T®¥ æ ç è - e-r²/(4T) log r² —— 4T - log T ö ÷ ø + 1 —– 4p ò  ¥    e-s log s ds 0
	= 1 —– 4p ( log 4 - 2 log r ) + C    æ ç è C = 1 —– 4p ò  ¥    e-s log s ds 0 ö ÷ ø

　基本解に定数を加えても基本解ですから、ここから定数を除くことにより、n = 2 の場合の基本解として - log r /(2p) が得られます。以上をまとめると、次のようになります：

　楕円型方程式の基本解はGreen関数と呼ばれることがあります。

　さて、Green関数 (4-15),(4-16) の一つの応用例として、半径 r のn次元球の表面積 S_n-1 を求めてみましょう。Gaussの定理により、

(4-20)  1	= ò|x|£r d(x) dV = - ò|x|£r DG(x) dV = - ò|x|£r div grad G(x) dV = - ò|x|=r grad G(x) · dS
	= - ò|x|=r ¶G —— ¶r dS =  (n-2)G(n/2-1)  —————— 4pn/2rn-1 ò|x|=r dS =  G(n/2)  ———– 2pn/2rn-1 Sn-1

　ただしここで、G 関数の性質：

(4-21)  (n-2)G(n/2-1) = 2(n/2-1)G(n/2-1) = 2G(n/2)

を使いました。ゆえに

(4-22)  Sn-1 =

2pn/2rn-1 ———–  G(n/2)

　ちなみに、n次元球の体積を V_n と書くと、div x = n とGaussの定理により、

(4-23)  nVn =

ò|x|£r

div x dV =

ò|x|=r

x · dS = r

ò|x|=r

dS = rSn-1

　ゆえに

(4-24)  Vn =

rSn-1 ——–  n

=

2pn/2rn ———–  nG(n/2)

=

pn/2rn ————  G(n/2+1)

　および

(4-25)  Sn-1 =

dVn ——  dr

が成り立ちます。

　さてここで、楕円型偏微分方程式の一つとして、実定数 w ¹ 0 に対するHeaviside方程式：

(4-26)  D u + w² u = - f

を考えます。E を双曲型方程式 (3-1) の基本解とすると、

(4-27)

¶²E —— ¶t²

- D E = d(t)d(x)

　この式の両辺を t に関してFourier変換すれば、

(4-28)  - w²

Ù E(w, x) - D

Ù E(w, x) = d(x)

　ゆえに、

(4-29)  G-w(x) =

Ù E(w, x)

と置けば、G_-w が方程式 (4-26) の一つの基本解になります。(3-36) によれば、n が奇数の場合、

(4-30)  E(t, x) =

æ è

-1 —— 2pr

¶ —–  ¶r

ö ø

n-1 —— 2

H(t - r) ———– 2

　これを t についてFourier変換すれば、

(4-31)  G-w(x)	= æ è -1 —— 2pr ¶ —–  ¶r ö ø n-1 —— 2 ò  ¥   e- iw t  -¥ H(t - r) ———– 2 dt
	= 1 —– 2 æ è -1 —— 2pr ¶ —–  ¶r ö ø n-1 —— 2   lim e®0 ò ¥   e- iw t - e t dt  r
	= - 1 —– 2 æ è -1 —— 2pr ¶ —–  ¶r ö ø n-1 —— 2   lim e®0 e- iw r - e r ————– - iw - e
	= - æ è -1 —— 2pr ¶ —–  ¶r ö ø n-1 —— 2 e- iw r ———  -2iw

　w のかわりに - w としてもやはり基本解が得られますから、結局２個の基本解：

(4-32)  G±w(x) = -

æ è

-1 —— 2pr

¶ —–  ¶r

ö ø

n-1 —— 2

e±iw r ———  ±2iw

あるいはこの２つの平均をとって、実数値の基本解：

(4-33)  GRw(x) =

G+(x) + G-(x) ——————  2

= -

æ è

-1 —— 2pr

¶ —–  ¶r

ö ø

n-1 —— 2

sin(wr) ——— 2w

が得られます。特に、n = 3 の場合は

(4-34)  G±w(x) =

e±iw r ———  4pr

　さて、恒等式：

(4-35)  div(jÑy - yÑj) = Ñj·Ñy + jDy - Ñy·Ñj - yDj = jDy - yDj

の両辺を滑らかな境界を持つ領域 Ω で積分して Gaussの定理を使うと、

(4-36)

òΩ

(jDy - yDj) dV =

ò¶Ω

æ è

j

¶y —–  ¶n

- y

¶j —–  ¶n

ö ø

dS

という公式が得られます。これをGreenの公式といいます。
　ここでGreenの公式の y にHeaviside方程式 (4-26) 又はPoisson方程式 (4-1) の解を、j に同方程式の基本解を - x だけ平行移動した超関数 G を代入してみましょう。

(4-37)  D y + w²y = -f

(4-38)  DG + w²G = - dx      ( ただし dx( y) = d( y - x) )

ですから、

(4-39)  GDy - yDG = - w²G y - G f - yDG = ydx - G f

となるので、(4-36) から、

(4-40)  y(x) =

òΩ

G f dV +

ò¶Ω

æ è

G

¶y —–  ¶n

- y

¶G —–  ¶n

ö ø

dS

という表示式が得られます。

　特に、w = 0 かつ f = 0 すなわちLaplace方程式の場合、Ω を x を中心とする半径 r の球にとれば、

(4-41)  y(x)	= ò¶Ω æ è G ¶y —–  ¶r - y ¶G —–  ¶r ö ø dS
	= G(r) ò¶Ω ¶y —–  ¶r dS - ¶G(r) ——– ¶r ò¶Ω y dS
	= G(r) òΩ Dy dV + G(n/2)  ———– 2pn/2rn-1 ò¶Ω y dS
	= 1  —— Sn-1 ò¶Ω y dS

という形になります。ただし Dy = 0 と (4-22) を使いました。これを調和関数に対する平均値の定理といいます。
　特に r ® ¥ とすることにより、無限遠で 0 に近づく調和関数は 0 しかないことがわかります。このことから、無限遠で 0 に近づく Poisson方程式 (4-1) の解は存在すれば一意的であることもわかります。
　一方、解の存在については、例えば n ³ 3 で f の台がコンパクトであれば、基本解の形と (1-50) によって、G * f は無限遠で 0 に収束することがわかり、これが唯一の解になります。

　なお、無限遠で 0 に近づくという条件を外し、解の一意性にこだわらなければ、Poisson方程式 (4-1) は、一般の領域 Ω における更に一般的な f に対しても解を持ちます。紛れを防ぐため、今までの超関数は必ず緩増加超関数とよび、Rⁿ の領域 Ω を多様体とみなしたときの０次カレント( 「微分多様体」第13節参照。)を今後は Ω 上の超関数とよぶことにします。
　Ω を Rⁿ の領域、f を Ω 上の任意の超関数とします。jÎW^o_o(Ω) ならば、DjÎW^o_o(Ω) であり、しかも閉包が Ω に含まれ、かつ滑らかな境界を持つ領域 Ω' に対して、(4-40) により

(4-42)  j(x) = -

òΩ'

GDj dV +

ò¶Ω'

æ è

G

¶j —– ¶n

- j

¶G —– ¶n

ö ø

dS      ( xÎΩ' )

が成り立ちます。従って、Dj = 0 なら、右辺第一項は消えるので、第２項のみが残ります。ところが、右辺第２項は x の解析関数ですから、結局 j は解析関数であり、しかも Ω の境界付近で恒等的に 0 ですから、j は実は Ω で恒等的に 0 です。
　ゆえに、jÎW^o_o(Ω) のとき、Dj に対して - á f , jñ を対応させる写像が一意的に定義でき、この写像は明らかに線形です。
　次に連続性を調べるため、j_jÎW^o_o(Ω) は、Dj_j の台が共通のコンパクト集合 KÌΩ に含まれ、Dj_j ® 0 となっているとします。K は、Ω \ K の各成分の境界が ¶Ω と共通点を持つと仮定しても一般性を失いません。
　すると、Ω \ K 上で Dj_j = 0 ですから、先述の結果を Ω \ K に適用すれば、j_j は Ω \ K で解析的です。しかも j_j は ¶Ω の近傍で恒等的に 0 ですから、Ω \ K で恒等的に 0 になることがわかります。すなわち j_j の台はすべて K に含まれています。
　そこで、(4-42) で Ω' を Ω に含まれ K を含む滑らかな境界を持つ有界領域とし、j に j_j を代入すると、右辺第２項は消えるので、右辺第１項のみとなり、これは K で一様に 0 に収束します。
　j_j のかわりにその任意階の微分を代入すれば、同様にして j_j の任意の微分が K で一様に 0 に収束することがわかります。これは、W^o_o(Ω) で j_j ® 0 となることを意味し、Dj に - á f , jñ を対応させる写像が連続であることがわかりました。
　ゆえに、関数解析のハーン・バナッハの定理により、この写像は W^o_o(Ω) 上の連続な汎関数(すなわち Ω 上の超関数) u に拡張することができます：

(4-43)  á u , Dj ñ = - á f , jñ

　これは (4-1) を意味していますから、これで任意の超関数 f に対し、Ω 上で (4-1) を満たす超関数解 u が存在することが証明されました。

　この節の最後に n = 3 の場合に対するHelmholtzの定理について解説します。
　r , J を、それぞれスカラー値、ベクトル値の超関数とし、ベクトル値超関数 V に関する次の連立方程式を考えます：

(4-44)  div V = r

(4-45)  rot V = J

　ただし、div rot = 0 ですから、(4-45) の解が存在するためには、

(4-46)  div J = 0

が成り立っていなければなりません。そこで (4-46) は成り立っているものと仮定します。超関数に対するポアンカレの補題(「微分多様体」第16節及び第20節 (20-40c) 参照 )により、

(4-47)  J = rot M

を満たすベクトル値超関数 M が存在します。そこで y をPoisson方程式

(4-48)  Dy = r - div M

の解とすれば、

(4-49)  V = M + grad y

は、連立方程式 (4-44),(4-45) の解になることがわかります。

　次に r , J の台がコンパクトな場合について、無限遠で 0 となる解の存在と一意性を確かめ、解の具体的な表示を求めてみましょう。(4-44),(4-45) の解 V に - D を施せば、

(4-50)  - D V = - grad div V + rot rot V = - grad r + rot J

となるので、(4-41) の直後に述べたPoisson方程式の解の存在と一意性により、無限遠で 0 となる V は一意的に定まって、次の形を持つことがわかります。

(4-51)  V =

1 —— 4pr

* ( - grad r + rot J )

　畳み込み演算 * と微分は可換ですから、これは 次のように変形できます。

(4-52)  V = - grad j + rot A

　ただし

(4-53)  j =

1 —— 4pr

* r =

1 —– 4p

òR³

r —– r

dV'

(4-54)  A =

1 —— 4pr

* J =

1 —– 4p

òR³

J —– r

dV'

　実際にこれが (4-44) と (4-45) を満たすことを確かめてみましょう。まず、div rot = 0 ですから、

(4-55)  div V = - div grad j = - D j = r

　また、(4-54) と (4-46) により、

(4-56)  div A =

1 —— 4pr

* div J = 0

　これと rot grad = 0 により、

(4-57)  rot V = rot rot A = grad div A - D A = - D A = J

となって、確かに (4-44) と (4-45) の解になっていることがわかります。これを Helmholtzの定理といいます。

　さらに - grad j と rot A を計算すると、(4-53),(4-54) により、

(4-58)  - grad j = - grad

æ è

1 —— 4pr

* r

ö ø

= - grad

1 —— 4pr

* r =

r ——– 4pr³

* r =

1 —– 4p

òR³

rr —— r³

dV'

(4-59)  rot A = rot

æ è

1 —— 4pr

* J

ö ø

= grad

1 —— 4pr

´* J = -

r ——– 4pr³

´* J =

1 —– 4p

òR³

J ´ r ——– r³

dV'

　ただし、´* は、ベクトルの成分をベクトルの外積で計算した畳み込み演算を表すものとします。

　最後に、台がコンパクトな r , J に対する (4-44),(4-45) が２乗可積分な解 V を持つ場合を考察します。(4-44),(4-45),(4-53),(4-54) により、j と A のFourier変換は

(4-60)

Ù j =

£

é ë

1 —— 4pr

* div V

ù û

= £

é ë

1 —— 4pr

ù û

£ [ div V ] =

1 —–  k²

ik ·

Ù V =

ik —–  k²

·

Ù V

(4-61)

Ù A =

£

é ë

1 —— 4pr

* rot V

ù û

= £

é ë

1 —— 4pr

ù û

£ [ rot V ] =

1 —–  k²

ik ´

Ù V =

ik —–  k²

´

Ù V

と書けますが、ik/k² という関数は、原点の近傍で２乗可積分、遠方で有界ですから、２乗可積分関数と有界可測関数の和に分解されます。また V のFourier変換は２乗可積分です。よってそれらの積は、可積分関数と２乗可積分関数の和になります。
　したがって、それらのFourier逆変換である j と A は、有界可測関数と２乗可積分関数の和となり、特に局所可積分な関数であることがわかります。
　さて、これらの j , A を使って

(4-62)  V' = - grad j + rot A

と置くと、V' も (4-44),(4-45) を満たしますから、V' - V は div も rot も共に 0 となり、したがって

(4-63)  D(V' - V ) = grad div (V' - V ) - rot rot (V' - V ) = 0

なので V" º V' - V は調和です。しかも V' , V は共に緩増加超関数なので V" も緩増加超関数です。したがって D V" = 0 をFourier変換すれば

(4-64)  k²

Ù V" = 0

となり、これは、V" をFourier変換したものが、原点のみに台を持つ、したがってデルタ関数の有限階の微分の線形結合であることを意味しますから、V" は多項式です。ところが V' も V も共に遠方では２乗可積分ですから V" も遠方で２乗可積分であり、そのような多項式は 0 しかありませんから、V" = 0 がわかります。
　これは、V が上記の j , A により (4-52) で表わされることを意味しています。