偏微分方程式

　第２節から第４節までの微分演算子に対する基本解について、楕円型と放物型の場合は原点以外で滑らかな関数であったのに対し、双曲型の場合はそうではありません。基本解に対するこのような違いは、実は一般の解に対しても成り立ち、楕円型や放物型では、Pu = f の f が滑らかな点では u も滑らかになる、という性質があります。
　本節では、このような事実を変数係数の場合も含めて見通しよく論じるため、擬微分作用素という概念を導入します。

　Rⁿ ´ Rⁿ で定義された滑らかな関数 P(x, ξ ) は、実数 m と、d ³ 0 と、α に依存する実数 l(α) が存在して

(5-1)  | P (α, β)(x, ξ ) | º

½ ½ ½

¶α ——  ¶xα

¶β ——  ¶ξ β

P(x, ξ )

½ ½ ½

£ Cα, β á x ñl(α)á ξ ñm-d |β|

を満たすとき、階数 m 、階数下降度 d の表象といいます。このとき、表象 P に対する擬微分作用素 P(x, D) を

(5-2)  P(x, D)u(x) º

òRn

ei x·ξ P(x, ξ )

Ù  u(ξ )

đx1¼đxn       (  uÎSn  )

で定義します。ただし đ = d/(2p) です。部分積分により、任意の α , β に対し、

(5-3)	¶α ——  ¶xα	P(x, D)u(x)	=   å μ+ν=α Cμ,ν  òRn ei x·ξ (i ξ ) μ ¶νP(x, ξ ) ————  ¶xν  Ù  u(ξ )   đx1¼đxn
			=   å μ+ν=α Cμ,ν  òRn (i ξ )μ ¶νP(x, ξ ) ————  ¶xν  Ù  u(ξ )   1  ——–  á x ñ2k (1 - Dξ)k ei x·ξ  đx1¼đxn
			=   å μ+ν=α Cμ,ν  òRn ei x·ξ  1  ——–  á x ñ2k (1 - Dξ)k æ ç è (i ξ )μ ¶νP(x, ξ ) ————  ¶xν  Ù  u(ξ )   ö ÷ ø đx1¼đxn

　ゆえに μ £ α に対する l(μ) の最大値を l とすれば、

(5-4)  á x ñ2k-l	½ ½ ½	¶α ——  ¶xα	P(x, D)u(x)	½ ½ ½	£   å μ+ν=α | Cμ,ν  | òRn 1  ——–  á x ñl ½ ½ ½ (1 - Dξ)k æ ç è (i ξ )μ ¶νP(x, ξ ) ————  ¶xν  Ù  u(ξ )   ö ÷ ø ½ ½ ½ đx1¼đxn
					£   å |κ|£2k C'κ  òRn á ξ ñm+|α| ½ ½ ½ ¶κ ——  ¶ξ κ  Ù  u(ξ )   ½ ½ ½ đx1¼đxn
					£ C

ですから、P(x, D) は S_n をそれ自身に写す連続な線型作用素です。
　また、別の vÎS_n をとると、

(5-5)  á v, P(x, D)u ñ =

òRn ´ Rn

ei x·ξ v(x) P(x, ξ )

Ù  u(ξ )

dx1¼dxnđx1¼đxn  =

òRn

q(ξ)

Ù  u(ξ )

đx1¼đxn

　ただし

(5-6)  q(ξ ) º

òRn

ei x·ξ v(x) P(x, ξ ) dx1¼dxn

です。部分積分により、任意の α , β に対し、

(5-7)	¶β ——  ¶ξ β	q(ξ )	=   å μ+ν=β Cμ,ν  òRn ei x·ξ (i x) μ v(x) ¶νP(x, ξ ) ————  ¶ξ ν dx1¼dxn
			=   å μ+ν=β Cμ,ν  òRn (i x) μ v(x) ¶νP(x, ξ ) ————  ¶ξ ν 1  ——–  á ξ ñ2k (1 - Dx)k ei x·ξ  dx1¼dxn
			=   å μ+ν=β Cμ,ν  òRn ei x·ξ  1  ——–  á ξ ñ2k (1 - Dx)k æ ç è (i x) μ v(x) ¶νP(x, ξ ) ————  ¶ξ ν ö ÷ ø dx1¼dxn

　ゆえに P にかかる x のすべての微分 ¶^ν/¶x^ν に対する l(μ) の最大値を l とすれば、

(5-8)  á ξ ñ2k-m	½ ½ ½	¶β ——  ¶ξ β	q(ξ )	½ ½ ½	£   å μ+ν=β | Cμ,ν  | òRn 1  ——–  á ξ ñm ½ ½ ½ (1 - Dx)k æ ç è (i x) μ v(x) ¶νP(x, ξ ) ————  ¶ξ ν ö ÷ ø ½ ½ ½ dx1¼dxn
					£   å |κ|£2k C'κ  òRn á x ñl+|β| ½ ½ ½ ¶κ ——  ¶xκ v(x) ½ ½ ½ đx1¼đxn
					£ C

ですから qÎS_n がわかり、(5-5) は緩増加超関数 uÎS'_n に対しても意味を持ち、P(x, D) は S'_n からそれ自身への連続線型作用素とみなすことができます。

　さて、擬微分作用素の合成に関する式を導く前に、振動積分を定義します。
　一般に、R²ⁿ 上の滑らかな関数 f と S_2n の元からなる { c_e | 0 < e < 1 } が与えられ、{  f - c_e | 0 < e < 1 } の０回以上の全ての微分が、一様に有界かつ e ¯ 0 のとき 0 に各点収束するとき、{ c_e | 0 < e < 1 } は f に微分有界収束するということにします。
　表象 R に対し、1 に微分有界収束する c_e を使って、R の振動積分を

(5-9)  Os-	òRn ´ Rn	e-i z·ζ R(z, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn	º   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn ce(z, ζ ) e-i z·ζ R(z, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn
			=   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn ce(z, ζ ) R(z, ζ ) 1  ——–  á z ñ2k (1 - Dζ)k e-i z·ζ dz1¼dzn đz1¼đzn
			=   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn e-i z·ζ  1  ——–  á z ñ2k (1 - Dζ)k{ce(z, ζ ) R(z, ζ )} dz1¼dzn đz1¼đzn
			=   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn 1  ——–  á z ñ2k (1 - Dζ)k{ce(z, ζ ) R(z, ζ )} 1  ———  á ζ ñ2k' (1 - Dz)k' e-i z·ζ dz1¼dzn đz1¼đzn
			=   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn e-i z·ζ  1  ———  á ζ ñ2k' (1 - Dz)k' ì í î 1  ——–  á z ñ2k (1 - Dζ)k{ce(z, ζ ) R(z, ζ )} ü ý þ dz1¼dzn đz1¼đzn
			= òRn ´ Rn e-i z·ζ  1  ———  á ζ ñ2k' (1 - Dz)k' ì í î 1  ——–  á z ñ2k (1 - Dζ)k R(z, ζ ) ü ý þ dz1¼dzn đz1¼đzn

で定義します。ただし k と k' は自然数で、R の階数を m とするとき、まず k' を 2k' - m ³ n + 1 となるように選び、| α | £ 2k' に対する l(α) の最大値を l とするとき、k を 2k - l ³ n + 1 となるように選びます。このとき

(5-10)

½ ½ ½

Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ R(z, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn

½ ½ ½

£

òRn ´ Rn

1  ———–  á ζ ñ2k'-m

1  ———–  á z ñ2k-l

dz1¼dzn đz1¼đzn < ¥

で (5-9) 右辺の積分は確かに収束します。
　(5-9) の最後の表示式により、{ j_e | 0 < e < 1 } が e › 0 のとき 0 に微分有界収束すれば、j_e R の振動積分（実は本当の積分）は 0 に収束します。一方 ¶c_e / ¶z_i や ¶c_e / ¶z_i は 0 に微分有界収束するので

(5-11)  0	=   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn ¶ce(z, ζ ) ———— ¶zi e-i z·ζ R(z, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn
	= -   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn ce(z, ζ ) ¶  —–  ¶zi { e-i z·ζ R(z, ζ )} dz1¼dzn đz1¼đzn
	= - Os- òRn ´ Rn ¶  —–  ¶zi { e-i z·ζ R(z, ζ )} dz1¼dzn đz1¼đzn

　ここで { } の中を展開すれば、

(5-12a)  Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ

¶  —–  ¶zi

R(z, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn = Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ i zi R(z, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn

　同様に

(5-12b)  Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ

¶  —–  ¶zi

R(z, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn = Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ i zi R(z, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn

が成り立つことがわかります。

　また、R が z によらない場合、Rⁿ で台がコンパクトで積分が (2p)ⁿ であるような急減少関数をFourier逆変換した c' を用いて c_e(z, ζ ) = c'(ez) c'(eζ ) と置けば、c'(0) = 1 であり、c'(e · ) のフーリエ変換 y_e は、台が共通のコンパクト集合に含まれ、超関数として 1 のFourier変換すなわち (2p)ⁿ d に収束するので

(5-13a)  Os-	òRn ´ Rn	e-i z·ζ R(ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn	=   lim e ¯ 0 òRn c'(eζ ) R(ζ ) đz1¼đzn òRn e-i z·ζ c'(ez) dz1¼dzn
			=   lim e ¯ 0 òRn ye(ζ ) c'(eζ ) R(ζ ) đz1¼đzn
			= R(0)

　同様に、R が ζ によらない場合は

(5-13b)  Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ R(z) dz1¼dzn đz1¼đzn = R(0)

　以上の準備のもとで、擬微分作用素の合成を一つの擬微分作用素で表わす式を導きます。Q(x, D) を別の擬微分作用素とし、c(0) = 1 となる Rⁿ 上の急減少関数 c を取り、積分変数を y , η からそれぞれ z = y - x と ζ = η - ξ に変更すれば、

(5-14)  Q(x, D)P(x, D)u(x)	= òRn ei x·η Q(x, η) đh1¼đhn òRn e-i y·η dy1¼dyn  òRn ei y·ξ P( y, ξ )  Ù  u(ξ )   đx1¼đxn
	=   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn ´ Rn c(eη) c(ey) ei x·η - i y·η + i y·ξ Q(x, η) P( y, ξ )  Ù  u(ξ )   đh1¼đhn dy1¼dyn đx1¼đxn
	=   lim e ¯ 0 òRn ´ Rn ´ Rn c(e(ξ + ζ )) c(e(x + z)) ei x·ξ e-i z·ζ Q(x, ξ + ζ ) P(x + z, ξ )  Ù  u(ξ )   đz1¼đzn dz1¼dzn đx1¼đxn
	=   lim e ¯ 0 òRn ei x·ξ   Ù  u(ξ )   đx1¼đxn  òRn ´ Rn c(e(ξ + ζ )) c(e(x + z)) e-i z·ζ Q(x, ξ + ζ ) P(x + z, ξ ) đz1¼đzn dz1¼dzn
	= òRn ei x·ξ (Q#P)(x, ξ )  Ù  u(ξ )   đx1¼đxn
	= (Q#P)(x, D)u(x)

　ただし

(5-15)  (Q#P)(x, ξ ) º Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ Q(x, ξ + ζ ) P(x + z, ξ ) dz1¼dzn đz1¼đzn

です。ここで、P と Q の階数をそれぞれ m , m' とし、階数下降度をそれぞれ d , d' とするとき、Q#P は階数を m + m' 、階数下降度を d" º min{d, d' } とする表象になっていることを証明しましょう。任意の α , β に対して

(5-16)  (Q#P)(α, β)(x, ξ ) =

å κ+λ=α

å μ+ν=β

Cκ,λ,μ,ν Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ Q (κ,μ)(x, ξ + ζ ) P (λ,ν)(x + z, ξ ) dz1¼dzn đz1¼đzn

で、P ^(λ,ν) は階数 m 、Q ^(κ,μ) は階数 m' の表象ですから、(5-9) により

(5-17)  | (Q#P)(α, β)(x, ξ ) |	£   å κ+λ=α   å μ+ν=β | Cκ,λ,μ,ν | òRn ´ Rn ½ ½ ½ (1 - Dz)k' ————  á ζ ñ2k' ì í î (1 - Dζ)k ————  á z ñ2k {Q (κ,μ)(x, ξ + ζ ) P (λ,ν)(x + z, ξ )} ü ý þ ½ ½ ½ dz1¼dzn đz1¼đzn
	£   å κ+λ=α   å μ+ν=β C'κ,λ,μ,ν  òRn ´ Rn 1  ——–  á ζ ñ2k' 1  ——–  á z ñ2k á x ñl'(α) á ξ + ζ ñm'-d' |μ| á x + z ñl(k', α) á ξ ñm-d |ν| dz1¼dzn đz1¼đzn
	£   å κ+λ=α   å μ+ν=β C"κ,λ,μ,ν  òRn ´ Rn á x ñl'(α) á ξ ñm'-d' |μ| á ζ ñm'-d' |μ| á x ñl(k', α) á z ñl(k', α) á ξ ñm-d |ν| ————————————————————————  á ζ ñ2k' á z ñ2k dz1¼dzn đz1¼đzn
	£ C á x ñl'(α)+l(k',α) á ξ ñm+m'-d" |β| òRn ´ Rn 1  ————————–  á ζ ñ2k'-m' á z ñ2k-l(k',α) dz1¼dzn đz1¼đzn

　そこで、まず k' を 2k' - m' ³ n + 1 となるように取り、次に k を 2k - l(k', α) ³ n + 1 となるように取れば、右辺の積分は収束し、(5-1) の形の評価：

(5-18)  | (Q#P)(α, β)(x, ξ ) | £ C' á x ñl"(α) á ξ ñm+m'-d" |β|

が得られ、これは Q#P が階数 m + m' の表象であることを示しています。以上で擬微分作用素の合成はやはり擬微分作用素で、その階数はそれぞれの階数の和となることがわかりました。

　次に、(5-15) を ζ の冪級数に展開してみましょう。f(t) = Q(x, ξ + tζ ) と置けば、

(5-19)  Q(x, ξ + ζ ) = f(1) =

N å k=0

f (k)(0) ———  k!

+

1 —– N!

ò

1 0

(1 - t)N f (N+1)(t) dt =

å |α|£N

Q (0,α)(x, ξ ) —————  α!

ζ α +

å |α|=N+1

ζ α Qα(x, ξ, ζ )

　ただし

(5-20)  Qα(x, ξ, ζ ) =

(N + 1) ——— α!

ò

1 0

(1 - t)N Q (0, α)(x, ξ + tζ ) dt

です。これを (5-15) に代入し、(5-12),(5-13b) を使えば、

(5-21)  (Q#P)(x, ξ )	= Os- òRn ´ Rn e-i z·ζ  ì í î   å |α|£N ζ α —–  α!  Q (0, α)(x, ξ ) P(x + z, ξ ) +   å |α|=N+1 ζ α Qα(x, ξ, ζ ) P(x + z, ξ ) ü ý þ dz1¼dzn đz1¼đzn
	= Os- òRn ´ Rn e-i z·ζ  ì í î   å |α|£N (- i)|α| ——–  α!  Q (0, α)(x, ξ ) P (α, 0)(x + z, ξ ) +   å |α|=N+1 (- i)N+1 Qα(x, ξ, ζ ) P (α, 0)(x + z, ξ ) ü ý þ dz1¼dzn đz1¼đzn
	=   å |α|£N (- i)|α| ——–  α!  Q (0, α)(x, ξ ) P (α, 0)(x, ξ ) +   å |α|=N+1 (- i)N+1 Rα(x, ξ )

　ただし

(5-22)  Rα(x, ξ ) º Os-

òRn ´ Rn

e-i z·ζ Qα(x, ξ, ζ ) P (α, 0)(x + z, ξ ) dz1¼dzn đz1¼đzn

　さて、(5-21) の右辺第１項に出てくる Q ^{(0, α)}(x, ξ ) P ^{(α, 0)}(x, ξ ) は、階数を m + m' - d' | α | 、階数下降度を d" とする表象です。そこで (5-22) について調べてみましょう。(5-20) により

(5-23)  | Qα(λ, μ, ν)(x, ξ, ζ ) | £ C á x ñl'(λ)

sup 0£t£1

á ξ + tζ ñm'-d' |α+μ+ν|

ですから、(5-9) により

(5-24)  | Rα(β, γ)(x, ξ ) |	£   å κ+λ=β   å μ+ν=γ | Cκ,λ,μ,ν | òRn ´ Rn ½ ½ ½ (1 - Dz)k' ————  á ζ ñ2k' ì í î (1 - Dζ)k ————  á z ñ2k {Qα (κ,μ,0)(x, ξ, ζ ) P (α+λ,ν)(x + z, ξ )} ü ý þ ½ ½ ½ dz1¼dzn đz1¼đzn
	£   å κ+λ=β   å μ+ν=γ C'κ,λ,μ,ν  òRn ´ Rn 1  ——–  á ζ ñ2k' 1  ——–  á z ñ2k á x ñl'(β)   sup 0£t£1 á ξ + tζ ñm'-d' |α+μ| á x + z ñl(k',α,β) á ξ ñm-d |ν| dz1¼dzn đz1¼đzn
	£   å κ+λ=β   å μ+ν=γ C"κ,λ,μ,ν  òRn ´ Rn á x ñl'(β) á ξ ñm'-d' |α+μ| á ζ ñ|m' |+d' |α+μ| á x ñl(k',α,β) á z ñl(k',α,β) á ξ ñm-d |ν| ———————————————————————————  á ζ ñ2k' á z ñ2k dz1¼dzn đz1¼đzn
	£ C á x ñl'(β)+l(k',α,β) á ξ ñm+m'-d" |α+γ| òRn ´ Rn 1  ————————————–  á ζ ñ2k'-|m' |-d' |α+γ| á z ñ2k-l(k',α,β) dz1¼dzn đz1¼đzn

　そこで、まず k' を 2k' - | m' | - d' | α + γ | ³ n + 1 となるように取り、次に k を 2k - l(k', α, β) ³ n + 1 となるように取れば、右辺の積分は収束し、(5-1) の形の評価：

(5-25)  | Rα(β, γ)(x, ξ ) | £ C' á x ñl"(α,β) á ξ ñm+m'-d" |α+γ|

が得られ、これは、R_α が、階数を m + m' - d" | α | とする表象であることを意味しています。ところで | α | = N + 1 ですから、

(5-26)  R(x, ξ ) º

å |α|=N+1

(- i)N+1 Rα(x, ξ )

と置けば、Q#P は、階数 m + m' - d' | α | 、階数下降度 d" の表象 Q ^{(0, α)}(x, ξ ) P ^{(α, 0)}(x, ξ ) と、階数 m + m' - d"(N + 1) 、階数下降度 d" の表象 R により、

(5-27)  (Q#P)(x, ξ ) =

å |α|£N

(- i)|α| ——–  α!

Q (0, α)(x, ξ ) P (α, 0)(x, ξ ) + R(x, ξ )

と書けることがわかりました。