偏微分方程式

　本節では、変数係数偏微分方程式の解の滑らかさについて論じます。

　通常の微分作用素 P の場合、いわゆる局所性 supp Pu Ì supp u が成り立ちますが、擬微分作用素の場合は必ずしも成り立ちません。そのかわり、超関数 u の特異台を

(6-1)  sing.supp u º { xÎRn | "U ' x : u|U ÏC¥(U ) }

で定義すると、階数下降度が正であるような任意の擬微分作用素 P(x, D) に対し

(6-2)  sing.supp P(x, D)u Ì sing.supp u      (  uÎS'n  )

となることが証明できます。その証明ですが、(6-2) を示すには

(6-2)'  sing.supp P(x, D)u Ì supp u      (  uÎS'n  )

が証明できれば十分であることに注意します。
　実際、x_oÏ sing.supp u とすると、x_o の近傍 U で、u が U で滑らかであるようなものが存在します。U にコンパクトな台を持ち、x_o の近傍で 1 となる滑らかな関数 j をとると、ju は滑らかなので、P(x, D)(ju) は滑らかです。
　一方、x_oÏ supp (1 - j)u ですから、(6-2)' が成り立つという仮定により x_oÏ sing.supp P(x, D){(1 - j)u} 、すなわち P(x, D){(1 - j)u} は x_o の近傍で滑らかです。
　以上の結果を合わせると、P(x, D)u は x_o の近傍で滑らか、すなわち x_oÏ sing.supp P(x, D)u が言えて、(6-2) が証明されます。

　さて、(6-2)' を示すために、擬微分作用素を振動積分によって書き直してみましょう。

(6-3)  P(x, D)v(x)	= òRn ei x·ξ P(x, ξ ) đx1¼đxn òRn e-i y·ξ v( y) dy1¼dyn
	= òRn ei x·ξ P(x, ξ ) đx1¼đxn òRn e-i (x+z)·ξ v(x + z) dz1¼dzn
	= Os- òRn ´ Rn e-i z·ζ P(x, ζ ) v(x + z) dz1¼dzn đz1¼đzn

　さて、x_oÏ supp u とし、x_o の近傍 U で、u が U で 0 であるようなものを取り、x_o の近傍 V と W を W Ì V Ì V Ì U となるように取ります。
　次に、原点で 1 となる急減少関数 c と、台が単位球に含まれる滑らかな関数 r を取り、r_e(x) º e^-n r(x/e) 、c_e(x) º c(ex) と置き、u_e = r_e * (c_e u) と置くと、u_e は急減少関数で、S'_n の位相で u に収束します。また、e が十分小さければ u_e は V 上恒等的に 0 です。
　さて、xÎW ならば、任意の k に対して u_e(x + z) / | z |^2k は z について全空間で滑らかですから、

(6-4)  P(x, D)ue(x)	= Os- òRn ´ Rn e-i z·ζ P(x, ζ ) ue(x + z) dz1¼dzn đz1¼đzn
	= Os- òRn ´ Rn | z |2k ——– | z |2k e-i z·ζ P(x, ζ ) ue(x + z) dz1¼dzn đz1¼đzn
	= Os- òRn ´ Rn ue(x + z) ————  | z |2k {- Dζke-i z·ζ }P(x, ζ ) dz1¼dzn đz1¼đzn
	= Os- òRn ´ Rn ue(x + z) ————  | z |2k e-i z·ζ {- DζkP(x, ζ )} dz1¼dzn đz1¼đzn

　ここで k を m - dk £ - n - 1 となるように十分大きくに取っておけば、(6-4) 最後の振動積分の被積分関数は可積分になるので、

(6-5)  P(x, D)ue(x) =

òRn

j(x, y) ue( y) dy1¼dyn

　ただし、

(6-6)  j(x, y) = -

òRn

c( | y - x | ) ————–  | y - x |2k

ei (x-y)·ζ DζkP(x, ζ ) đz1¼đzn

で、c はW と CV の距離を d とするとき、0 の近傍で恒等的に 0 、t ³ d で c(t) ³ 1 となる滑らかな関数です。
　ここで任意に p , q , β を取り、k を 2k > p かつ q + | β | + m - 2kd £ - n - 1 となるよう十分大きく取っておけば、| α | £ q のとき

(6-7)  á y ñp | j(β,α)(x, y) | £

Cá y ñp ———— á y - x ñ2k

òRn

á ζ ñq+|β|á x ñl(β)á ζ ñm-2kd đz1¼đzn £ C'

á x ñ2k+l(β) ———— á y ñ2k-p

òRn

á ζ ñq+|β|+m-2kd đz1¼đzn £ C"á x ñ2k+l(β)

　すなわち任意のコンパクト集合 K に対し、{ j^(β,0)(x, · ) | xÎK } は S_n の有界集合になります。ゆえに (6-5) に ¶^β/¶x^β を施して e ¯ 0 とすれば、

(6-8)

¶β ——  ¶xβ

P(x, D)u(x) = á j(β,0)(x, · ) , u ñ

は x に対してコンパクト集合上有界となり、これは W で P(x, D)u が滑らかであることを示しており、x_oÏ sing.supp P(x, D)u が言えて、(6-2)' は証明されました。

　なお、階数下降度が正という仮定は本質的で、例えば P(x, ξ ) º e^{i a·ξ} とおくと、これは階数下降度 0 の表象ですが、P(x, D)u(x) = u(x + a) は平行移動ですから、(6-2) が成り立たないことは明らかです。

　次に、P(x, ξ ) がある条件を満たすとき、(6-2) の逆が言えることを示しましょう。

　U を Rⁿ の開集合とし、U ´ Rⁿ で定義された滑らかな関数 P は、次の条件を満たす滑らかな P_o と P' の和に分解されるものとします：

(6-9a)  a' | ξ |m' £ | Po(x, ξ ) | £ a | ξ |m       (  | ξ | ³ r  )

(6-9b)  | Po(α,β)(x, ξ ) | £ Cα,β | ξ |-d |β| | Po(x, ξ ) |       (  | ξ | ³ r  )

(6-9c)  | P' (α,β)(x, ξ ) | £ C'α,β | ξ |-d (1+|β|) | Po(x, ξ ) |       (  | ξ | ³ r  )

　ただし a' と d は正の定数とします。
　この (6-9) が満たされると、定数を変更して、P_o = P , P' = 0 と定義しなおすことができます（つまり P を２つの部分に分ける必要がない）。なぜなら (6-9c) で α = β = 0 と置くと、r を C'_0,0 r^-d £ 1/2 となるように定義しなおせば、| ξ | ³ r のとき 2 | P'(x, ξ ) | £ | P_o(x, ξ ) | ですから

(6-10)  | Po(x, ξ ) | £ 2 | Po(x, ξ ) | - 2 | P'(x, ξ ) | £ 2 | Po(x, ξ ) + P'(x, ξ ) | = 2 | P(x, ξ ) | £ 2 | Po(x, ξ ) | + 2 | P'(x, ξ ) | = 3 | Po(x, ξ ) |

となるので、(6-9a) の第２辺と (6-9b),(6-9c) の右辺の P_o を P に置き換えることができ、(6-9b) と (6-9c) を辺々加えれば、(6-9b) で P_o を P に置き換えた評価式が得られます。したがって、以下

(6-11a)  a' | ξ |m' £ | P(x, ξ ) | £ a | ξ |m       (  | ξ | ³ r  )

(6-11b)  | P (α,β)(x, ξ ) | £ Cα,β | ξ |-d |β| | P(x, ξ ) |       (  | ξ | ³ r  )

が成り立っているものと仮定します。

　さて、V Ì U を満たす相対コンパクトな開集合 V に対し、j を V の近傍で恒等的に 1 となり、台がコンパクトな U で定義された滑らかな関数とすれば、P_j(x, ξ ) º j(x)P(x, ξ ) は明らかに階数 m 、階数下降度 d の表象になります。
　次に、長さ r 以下のところでで 0 、長さ r + 1 以上のところで 1 となる滑らかな関数 c を用いて

(6-12)  Q(x, ξ ) º

j(x) c(ξ ) ———— P(x, ξ )

と定義します。一般に、帰納法で

(6-13)  Q (α,β)(x, ξ ) =

å κ+μ1+¼+μk=α

å λ+ν1+¼+νk=β

Cκ,λ;μ,ν

j(κ)(x) c(λ)(ξ ) ——————  P(x, ξ )

P (μ1,ν1)(x, ξ ) —————–  P(x, ξ )

¼

P (μk,νk)(x, ξ ) —————–  P(x, ξ )

となることがわかるので、λ ¹ 0 のとき c^(λ)(ξ ) は台がコンパクトであることと、評価式 (6-11) を用いれば、Q(x, ξ ) は階数 - m' 、階数下降率 d の表象になっていることがわかります。
　そこで、自然数 N を、m - m' £ dN となるように選べば、(5-27) の展開式：

(6-14)  (Q #Pj )(x, ξ ) =

å |α|£N

(- i)|α| ——–  α!

Q (0, α)(x, ξ ) Pj(α, 0)(x, ξ ) + R(x, ξ )

において R は階数 - d の表象になります。また

(6-15)  Q (0,α)(x, ξ ) Pj(α,0)(x, ξ ) =

å λ+ν1+¼+νk=α

Cλ;ν j(x) c(λ)(ξ )

Pj(α,0)(x, ξ ) —————  P(x, ξ )

P (0,ν1)(x, ξ ) —————  P(x, ξ )

¼

P (0,νk)(x, ξ ) —————  P(x, ξ )

で、

(6-16)

¶β ——  ¶xβ

¶ γ ——  ¶ξ γ

{Q (0,α)(x, ξ ) Pj(α,0)(x, ξ )} =

å κ+μ0+μ1+¼+μk=β

å λ+ν0+ν1+¼+νk=α+γ

Cκ,λ;μ,ν j(κ)(x) c(λ)(ξ )

Pj(α+μ0,ν0)(x, ξ ) ——————–  P(x, ξ )

P (μ1,ν1)(x, ξ ) —————–  P(x, ξ )

¼

P (μk,νk)(x, ξ ) —————–  P(x, ξ )

ですから、R_α(x, ξ ) º Q ^(0,α)(x, ξ ) P_j^(α,0)(x, ξ ) は、階数 - d | α | の表象であることがわかります。また、R₀ = Q(x, ξ ) P_j(x, ξ ) = j(x)² c(ξ ) ですから

(6-17)  (Q #Pj )(x, ξ ) - j(x)² = j(x){1 - c(ξ )} +

å 1£|α|£N

(- i)|α| ——–  α!

Rα(x, ξ ) + R(x, ξ )

となり、1 - c(ξ ) は台がコンパクトですから、(6-17) の右辺を R'(x, ξ ) と書くと、これは階数 - d の表象であることがわかります。よって、(6-17) の表象を持つ擬微分作用素を考えると、

(6-18)  Q(x, D)Pj(x, D) - j(x)² = R'(x, D)

となります。

　さて、任意の uÎS'_n に対し、P_j(x, D)u の V への制限は j の取り方によりませんから、U 上の超関数 fÎD'(U) が存在して、f と P_j(x, D)u の V への制限は一致します。この f を P(x, D)u あるいはシンボリックに

(6-19)  f = P(x, D)u(x) º

òRn

ei x·ξ P(x, ξ )

Ù  u(ξ )

đx1¼đxn

と書くことにします。このとき、(6-2) と逆向きの関係：

(6-20)  sing.supp P(x, D)u É U Ç sing.supp u      (  uÎS'n  )

が成り立つ、いいかえると f = P(x, D)u が滑らかな点では u も滑らかになる（逆ももちろん成り立つ）ことを証明しましょう。
　ところで (6-20) を証明するには、台がコンパクトで U に含まれる u に対し、P_j(x, D)u が U で滑らかなら u は V で滑らかである、すなわち

(6-21)  ( uÎE'(U ) Ù Pj(x, D)uÎE(U ) )  Þ  uÎE(V )

ということを証明すれば十分です。ただし記号 E(Ω) は、Ω で定義された滑らかな関数の全体、E'(Ω) はその双対空間、すなわち Ω にコンパクト台を持つ超関数の全体を表わします。
　実際、任意の x_oÏsing.supp P(x, D)u に対し、x_o の相対コンパクトな近傍 V , W を、V Ì W Ì W Ì U かつ W 上で f º P(x, D)u が滑らかであるように取ります。次に、jÎE(W ) を V の近傍で 1 となるように取り、yÎE(U ) を W の近傍で 1 となるように取ります。このとき

(6-22)  Pj(x, D)(yu) = jP(x, D)(yu) = jP(x, D)u - jP(x, D){(1 - y)u)} = jf - Pj(x, D){(1 - y)u)}

となりますが、右辺第１項 jf は滑らかで、第２項については、そもそも supp P_j(x, D)( · ) Ì W であり、しかも W Ç supp {(1 - y)u} = Æ ですから、擬微分作用素 P_j に (6-2)' を適用すれば W Ç sing.supp P_j(x, D){(1 - y)u} = Æ すなわち sing.supp P_j(x, D){(1 - y)u} = Æ がわかり、これは (6-22) 右辺第２項が滑らかであることを意味しています。
　よって (6-22) の左辺は滑らかなので、(6-21) を仮定すれば yu が V 上滑らかであることがわかります。y は V 上 1 ですから、これは u が x_o の近傍 V で滑らかであること、言い換えると x_oÏsing.supp u であることを示しています。
　以上で、(6-20) を証明するには (6-21) が証明できればよいことがわかりました。

　さて、(6-21) の証明ですが、任意に uÎE'(U) を取ります。このとき U に含まれるコンパクト集合 K と自然数 q が存在して

(6-23)  | á j, u ñ | £ C || j ||K, q       ( jÎE(U ) )

が成り立ちます。ただし

(6-24)  ||j||K, q º

sup |α| £ q, xÎK

| j(α)(x) |

です。特に j(x) = e^{-i x·ξ} とすれば、これは u のFourier変換となる緩増加関数を与え、

(6-25)  |

Ù  u(ξ )

| = | á j, u ñ| £ C || j ||K, q £ C' á ξ ñq

が成り立ちます。そこで、任意に与えた自然数 p に対し、自然数 k を kd ³ p + q + n + 1 となるように取ります。次に (6-18) を

(6-26)  1 - Q(x, D)Pj(x, D) = {1 - j(x)²} - R'(x, D)

と書き直して、この両辺を k 乗すれば、

(6-27)  1 - S(x, D)Pj(x, D) = åi Gi(x, D){1 - j(x)²}Hi(x, D) + (-1)k R'(x, D)k

　ただし S(x, D) は Q(x, D) と P_j(x, D) をいくつか合成したものの有限和と書ける擬微分作用素、G_i(x, D) と H_i(x, D) は R'(x, D) と 1 - j(x)² をいくつか合成した擬微分作用素です。ゆえにこれを u に施せば、

(6-28)  u = S(x, D)Pj(x, D)u + åi Gi(x, D){1 - j(x)²}Hi(x, D)u + (-1)k R'(x, D)ku

　まず右辺第１項を考えます。P_j(x, D)u は (6-2)' により特異台が supp u Ì U に含まれ、仮定により U では滑らかですから、実は全空間で滑らかです。よってそれに階数下降率が正の擬微分作用素 S(x, D) を施した右辺第１項は、(6-2) により至るところ滑らかです。

　次に右辺第２項を考えます。{1 - j(x)²}H_i(x, D)u は V で恒等的に 0 ですから、それに階数下降率が正、又は V で恒等的に 0 であるような擬微分作用素を施したものは、(6-2) により V で滑らかです。ゆえにそれらの総和である右辺第２項は V で滑らかです。

　最後に右辺第３項を考えます。この擬微分作用素を R_k(x, D) º (-1)^k R'(x, D)^k と書けば、前節の結果により、R_k(x, ξ ) は R'(x, D) の階数 - d の k 倍の階数を持ち、階数下降度は d ですから、

(6-29)  | Rk (α, 0)(x, ξ ) | £ Cα á x ñl(α)á ξ ñ-kd £

Cα ————– á ξ ñp+q+n+1

　また、

(6-30)

¶α ——  ¶xα

Rk(x, D)u(x)

=

å μ+ν=α

Cμ,ν

òRn

ei x·ξ ξ μ Rk(ν,0)(x, ξ )

Ù  u(ξ )

đx1¼đxn

ですから、| α | £ p ならば、(6-25),(6-29),(6-30) により

(6-31)

½ ½ ½

¶α ——  ¶xα

Rk(x, D)u(x)

½ ½ ½

£ C

òRn

á ξ ñpá ξ ñq ————– á ξ ñp+q+n+1

đx1¼đxn £ C"

　すなわち p 階以下の微分がすべて有界な関数です。
　ゆえに、(6-28) の右辺、従って u は、V において p 階以下の微分がすべて任意のコンパクト集合上有界な関数であることがわかります。p は任意ですから、これは u が V で滑らかであることを示しています。以上で (6-21) が、従って (6-20) が証明されました。

　最後に、以上の結果の応用として、変数係数の楕円型と放物型の微分作用素について (6-20) が成り立つことを証明します。

　Rⁿ の開集合 U で定義された微分作用素 P が、U で滑らかな関数 a_ij , b_i , c により

(6-32)  P = -

n å i, j=1

aij(x)

¶²  ——– ¶xi¶xj

+

n å i=1

bi(x)

¶  —–  ¶xi

+ c(x)

と書け、更に a_ij が正定値性：

(6-33)  ξ ¹ 0  Þ  aij(x)xixj > 0

を満たすとき、楕円型微分作用素といいます。
　(1-6a) により ¶u/¶x_i のFourier変換は、u のFourier変換に i x_i を乗じたものですから、

(6-34)  P(x, ξ ) =

n å i, j=1

aij(x)xixj + i

n å i=1

bi(x)xi + c(x)

と置いたとき、P に台がコンパクトな j を左から乗じたものは、階数 2 、階数下降度 1 の表象 P_j(x, ξ ) を持つ擬微分作用素とみなすことができます。さて、

(6-35a)  Po(x, ξ ) =

n å i, j=1

aij(x)xixj

(6-35b)  P'(x, ξ ) = i

n å i=1

bi(x)xi + c(x)

と置くとき、U の任意の相対コンパクト集合 U' において m = m' = 2 , d = 1 として (6-9) が成り立つことを確かめましょう。まず、

(6-36a)  k(x) º

sup |ξ| = 1

n å i, j=1

aij(x)xixj

(6-36b)  k'(x) º

inf |ξ| = 1

n å i, j=1

aij(x)xixj

と置くと、両者ともコンパクト集合である単位球面上の上限と下限なので、実は最大値と最小値です。従って、いずれの左辺も正値であり、かつ x の連続関数です。よって

(6-37a)  k º max { k(x) | xÎU' }

(6-37b)  k' º min { k'(x) | xÎU' }

と置くと、いずれも正値で、すべての xÎU' と ξÎRⁿ に対して

(6-38)  k' | ξ |² £

n å i, j=1

aij(x)xixj £ k | ξ |²

が成り立ちます。よって r ³ 0 , m = m' = 2 に対して (6-9a) が成り立つことがわかります。
　また、すべての xÎU' と | ξ | ³ 1 であるようなすべての ξÎRⁿ に対して

(6-39a)  | Po(α,β)(x, ξ ) | £ C | ξ |2- |β|       ( | β | £ 2 )

(6-39b)  | P' (α,β)(x, ξ ) | £ C ( | ξ |1- |β| + 1 ) £ 2 C | ξ |1- |β|       ( | β | £ 1 )

が成り立ちますから、r = d = 1 と置けば、(6-39) と (6-9a) により、(6-9b),(6-9c) が成り立つこともわかります。以上で (6-9) が成り立ち、楕円型微分作用素について (6-20) が成り立つことが証明されました。

　次は放物型です。R の開区間 I と Rⁿ の開集合 U に対し、I ´ U で定義された微分作用素 P が、I ´ U で滑らかな関数 a_ij , b_i , c により

(6-40)  P =

¶  —– ¶t

-

n å i, j=1

aij(t, x)

¶²  ——– ¶xi¶xj

+

n å i=1

bi(t, x)

¶  —–  ¶xi

+ c(t, x)

と書け、更に a_ij が正定値性を満たすとき、放物型微分作用素といいます。(t, x) の共役な変数を (t, ξ ) として

(6-41)  P(t, x ; t, ξ ) = i t +

n å i, j=1

aij(t, x)xixj + i

n å i=1

bi(t, x)xi + c(t, x)

と置いたとき、P に台がコンパクトな j を左から乗じたものは、階数 2 、階数下降度 1 の表象 P_j(x, ξ ) を持つ擬微分作用素とみなすことができます。今度は

(6-42a)  Po(x, ξ ) = i t +

n å i, j=1

aij(t, x)xixj

(6-42b)  P'(x, ξ ) = i

n å i=1

bi(t, x)xi + c(t, x)

と置くとき、I に含まれる任意の閉区間 J と U の任意の相対コンパクト集合 U' に対し、J ´ U' において m = 2 , m' = 1 , d = 1/2 として (6-9) が成り立つことを確かめましょう。
　まず最初に (6-38) により、

(6-43)  t² + k' ² | ξ |4 £ | Po(t, x ; t, ξ ) |² £ t² + k² | ξ |4

　また、max { | t |, | ξ | } ³ 1 のとき、| ξ | ³ 1 の場合と | ξ | £ 1 かつ | t | ³ 1 の場合に分けて考えると、

(6-44a)  | (t, ξ ) |² = t² + | ξ |² £ 2 t² + | ξ |4 £ C' ( t² + k' ² | ξ |4 )

　また、max { | t |, | ξ | } ³ 1 のとき、| t | ³ 1 の場合と | t | £ 1 かつ | ξ | ³ 1 の場合に分けて考えると、

(6-44b)  C ( t² + k² | ξ |4 ) £ t² + | ξ |4 £ t4 + 2 | ξ |4 £ 2 ( | t |² + | ξ |² )² = 2 | (t, ξ ) |4

ですから、max ノルムと２乗ノルムの同値性と (6-43),(6-44) により、r をうまく選べば m = 2 , m' = 1 として (6-9a) が成り立つことがわかります。
　また、すべての tÎJ , xÎU' , tÎR , ξÎRⁿ に対して

(6-45a)  | Po(α,β)(t, x ; t, ξ ) | £ C ( | ξ |2- |β| + 1 )       ( 1 £ | β | £ 2 )

(6-45b)  | P' (α,β)(t, x ; t, ξ ) | £ C ( | ξ |1- |β| + 1 )       ( | β | £ 1 )

が成り立ちます。したがって d = 1/2 として max { | t |, | ξ | } ³ 1 のとき (6-9b),(6-9c) を示す（ただし (6-9b) で | β | = 0 の場合は自明に成り立つので除外してよい）には、

(6-46a)  | ξ | + 1 £ C | (t, ξ ) |-1/2 | Po(t, x ; t, ξ ) |

(6-46b)  1 £ C | (t, ξ ) |-1 | Po(t, x ; t, ξ ) |

あるいは (6-43) により

(6-47a)  | ξ | + 1 £ C (t² + | ξ |²)-1/4 (t² + | ξ |4 )1/2

(6-47b)  1 £ C (t² + | ξ |²)-1/2 (t² + | ξ |4 )1/2

を証明すれば十分です。そこでこれらを２乗した形の

(6-48a)  Ö________ t² + | ξ |² ( | ξ | + 1 )² £ 6 (t² + | ξ |4 )

(6-48b)  t² + | ξ |² £ 2 (t² + | ξ |4 )

が成り立つことを示しましょう。場合分けによることにし、まず | ξ | ³ 1 の場合を考えると、

(6-49a)  Ö________ t² + | ξ |² ( | ξ | + 1 )² £ ( | t | + | ξ | )( | ξ | + 1 )² £ ( | t | + | ξ | )( 2 | ξ | )² = 4 | t | | ξ |² + 4 | ξ |³ £ 2 | t |² + 2 | ξ |4 + 4 | ξ |³ £ 6 (t² + | ξ |4 )

(6-49b)  t² + | ξ |² £ t² + | ξ |4 £ 2 (t² + | ξ |4 )

ですから成り立ち、| ξ | £ 1 かつ | t | ³ 1 のときは

(6-50a)  Ö________ t² + | ξ |² ( | ξ | + 1 )² £ Ö______ t² + 1 | ξ |² 2² £ Ö___ 2t² 4 £ 4Ö2 t £ 6 t £ 6 t² £ 6 (t² + | ξ |4 )

(6-50b)  t² + | ξ |² £ t² + 1 £ 2 t² £ 2 (t² + | ξ |4 )

となって証明されました。以上で (6-9) が成り立つことがわかり、放物型微分作用素についても (6-20) が成り立つことが証明されました。