] s, T [
] s, T [
o
[s, T [
(7-3a) Lu |
(7-3b) Bu |
(7-3c) u(s, · )Ω |
のことを、L , B , f , j , o
また、計量 (t, · )
(19-33)
参照）をそれぞれ dtV
dtS
dtS
(7-4a) |
dtV —— |
/ |
dtV |
—– |
—— |
(7-4b) b |
と置いて、A , L , B に共役な演算子を
(7-5a) A* vv |
(7-5b) L* v |
—– |
*v |
(7-5c) B*v |
ì ï í ï î |
v |
onS |
||
—– |
(v |
onS |
|||
で定義し、 のことを、初期値境界値問題 さて、 となります。この両辺を t について ここで 更に v が を満たせば、 となります。ゆえに v が
を満たせば、 が成り立ちます。
が成り立つことがわかります。
逆に、 となります。
次に、s の近傍で 最後に u が境界条件 が成り立つことに注意しておきます。
となります。ゆえに Ω の 一方、x と y を結ぶ直線 L は、凸集合 が成り立ちます。
あるいはその逆行列による表現
が成り立つように構成できることを証明します。
が成り立ち、かつ境界の接平面に平行な、すなわち が成り立ち、更に外向きであることから
が成り立ちます。ここで が成り立つことがわかります。まず最初に、局所座標 y をうまく選ぶと、その局所座標の成分表示で とできることを確かめます。実際、局所座標 y を
で定義すると、この座標系 y に対する計量の成分表示を となるので、座標系を x から y に変更すればよいことがわかります。そこで、以下では の解 u を考えます（ただし、変数 t は書くのを省略しました。u は当然 t に依存します）。このとき、 が成り立つので、
したがって、局所座標を x から よって、新しい局所座標で なお、 という簡単な形になります。
さてここで、 を満たし、 ですから が成り立ちます。そこで、 と置きます。ただし を満たすので、
は、 が得られ、 そこで、 さて、 を満たす任意の を満たすとき、これを初期値境界値問題 0 < t £ T]
0, t [ ´ Ω で定義された g 、]
0, t [ ´ ¶Ω で定義された y 、Ω で定義された o
]
0, t ] ´ Ω
(7-6a) L*v
= g in ] 0, t [ ´ Ω(7-6b) B*v
= y on ] 0, t [ ´ ¶Ω(7-6c) v
(
Ωt, · ) = vo in (7-3)
の、g , y , o
0 £ s < t £ T[s,
t] ´ Ω] s,
t [ ´ Ω(t, x)
(s,
t ; Ω)0 £ s < t £ T,
vÎF (s,
t ; Ω) < t < t(t, x)
*
で表わせば、
(7-7)
d
t
—–
dòΩv
(t, · )* u(t, · ) dtV
=òΩæ
è ¶vt*
—–
¶u
+ v*
¶ut
—–
¶+ v*
u¶t
—–
¶ö
ødtV
=òΩ[
- { L*v + A*v }* u + v* { Lu + Au } + rv* u ] dtV
=òΩ[
- { L*v + Dt v - b* v
+ (c* - divt b* + r)v }* u + v* { Lu + Dt u + bu + cu } + rv* u ] dtV
=òΩ{ v* Lu
- (L*v)* u } dtV +òΩ( v*
Dt u - Dt v* u ) dtV +òΩ( bv* u
+ v* bu + v* u divt b ) dtV
=òΩ{ v* Lu
- (L*v)* u } dtV +òΩ( v* divt gradt u
- divt gradt v* u ) dtV +òΩLb(v* u dtV)
=òΩ{ v* Lu
- (L*v)* u } dtV +òΩdivt ( v* gradt u
- gradt v* u ) dtV +òΩd
ib(v* u dtV)
=òΩ{ v* Lu
- (L*v)* u } dtV +ò¶Ω( v* gradt u
- gradt v* u ) · dtS +ò¶Ωib(v* u dtV)
=òΩ{ v* Lu
- (L*v)* u } dtV +ò¶Ω( v* gradt u
- gradt v* u + v* ub ) · dtS
=òΩ{ v* Lu
- (L*v)* u } dtV +ò¶Ωæ
èv
*
¶u
—– ¶n- ¶v*
—– ¶nu
+ v*
ubö
ødtS
] s
+ e, t - e [
(7-8)
òΩv (
t - e, · )* u(
t - e, · ) dt - eV
-òΩv
(s
+ e, · )* u(s
+ e, · ) ds + eV
=ò t - e d
t
s + e òΩ{ v* Lu
- (L*v)* u } dtV +ò t - e d
t
s + e ò¶Ωæ
èv
*
¶u
—– ¶n- ¶v*
—– ¶nu
+ v*
ubö
ødtS
e ¯ 0e = 0e ¯ 0e = 0
(7-9)
òΩv
(
t, · )* u(
t, · ) dtV -òΩv
(s, · )* u(s, · ) dsV
=ò t d
t
s òΩ{ v* Lu
- (L*v)* u } dtV +ò t d
t
s ò¶Ωæ
èv
*
¶u
—– ¶n- ¶v*
—– ¶nu
+ v*
ubö
ødtS
] s,
t [ ´ ¶Ω*
v = 0
(7-10a) v*
S = 0 on 1
(7-10b)
-¶v*
—–¶n= s v*
S- bv* on 2¶Ω
(7-11)
ò t d
t
s ò¶Ωæ
èv
*
¶u
—– ¶n- ¶v*
—– ¶nu
+ v*
ubö
ødtS
= -ò t d
t
s ò
S1 ¶v*
—– ¶nu
dtS
+ò t d
t
s ò
S2v
*
æ
è¶u
—–¶n+ suö
ødtS
= -ò t d
t
s ò
S1 ¶v*
—– ¶nBu
dtS
+ò t d
t
s ò
S2v
* Bu dtS
(7-12a) B*v
= 0 on ] s, t [ ´ ¶Ω(7-12b) v
(
Ωt, · ) = 0 in (7-9),(7-11)
により、
(7-13)
ò t d
t
s òΩ(L*v)* u dtV
=ò t d
t
s òΩv
* Lu dtV
+òΩv
(s, · )* u(s, · ) dsV
-ò t d
t
s ò
S1 ¶v*
—– ¶nBu
dtS
+ò t d
t
s ò
S2v
* Bu dtS
特に ÎF (s,
t ; Ω)j , o
(7-3)
の解なら、(7-12)
を満たす任意の ÎF (s,
t ; Ω)
(7-14)
ò t d
t
s òΩ(L*v)* u dtV
=ò t d
t
s òΩv
* f dtV
+òΩv
(s, · )* uo dsV
-ò t d
t
s ò
S1 ¶v*
—– ¶nj dtS
+ò t d
t
s ò
S2v
*
j dtSÎF (s, T ; Ω)
(7-12)
を満たす任意の ÎF (s,
t ; Ω)(7-14)
を満たせば、u は = t(7-3)
の解になることを証明しましょう。
実際、(7-13)
と (7-14)
を辺々引き算すれば、
(7-15)
ò t d
t
s òΩv
* (Lu
- f ) dtV +òΩv
(s, · )* {u(s, · )
- uo} dsV -ò t d
t
s ò
S1 ¶v*
—– ¶n(Bu
- j) dtS +ò t d
t
s ò
S2v
* (Bu
- j) dtS = 0
そこで、まず ] s,
t [ ´ Ω (s,
t ; Ω)(7-12)
を満たし、しかも (7-15)
の左辺は第１項以外はすべて 0 となります。よって v の任意性により (7-3a)
が成り立つことがわかります。
これにより、(7-12)
を満たす任意の ÎF (s,
t ; Ω)(7-15)
の左辺第１項が消えることに注意します。
1 、t の近傍で 0 となる [s,
t ]c と Ω にコンパクトな台を持つ任意の滑らかな w を取って (t, x)
º c(t) w(x) (s,
t ; Ω)(7-12)
を満たし、しかも (7-15)
の左辺は（既に第１項は消えているので）第２項以外はすべて 0 になり、第２項の被積分関数も (x)* {u(s, x)
- uo(x)}(7-3c)
が成り立ちます。
これにより、(7-12)
を満たす任意の ÎF (s,
t ; Ω)(7-15)
の左辺は第１項だけでなく第２項も消えることに注意します。
(7-3b)
を満たすことを示すため、ここで局所座標に関する若干の議論をします。
なお、(6-38)
により、k,
k' > 0[
0, T ] ´ ΩÎR
n
(7-16)
k' | ξ |² £ aijxixj £ k | ξ |²
まず、任意の ÎΩÎVsdiam x(Vs )
£ dist (x(¶V ), x(Vs ))(Vs )
任意に取った２点 ,
yÎVs Ì Ω = CÇV| x
- y | £ dist (x(¶V ), x(Vs ))(7-16)
により
(7-17)
òCds
³òC'ds
=òC' _______
Öaijd
xid
xj³ Ök'òC'|dx|
³ Ök' | x - y |Riemann
計量に伴う距離を (x, y)
(7-18a) d(x, y)
³ Ök' | x - y |(Vx )
(7-18b) d(x, y)
£òLds
=òL _______
Öaijd
xid
xj£ ÖkòL|dx|
= Ök | x - y |
次に、コンパクト集合 Ω を覆う有限個の座標系 { xi | i
ÎI }{ Ui | i
ÎI }¶ΩÇUi Ì S1¶ΩÇUi Ì S2
(7-19a)
ain = d in
(7-19b)
ain = din
ある Ç¶Ω 上のベクトル n が境界上の単位外向き法線であることから、 = 0
(7-20a)
aijninj = 1 = 0
(7-20b)
aijniej = 0
(7-20c)
nn < 0 = djna jn = ann と = djne j = en = 0 > 0
(7-21)
ni = -ain
——–– ÖannǶΩ
(7-22)
ann = 1
(7-23a) y i
= xi ( i < n )
(7-23b)
y n =xn
——–– ÖannÇ¶Ω = 0
(7-24)
a' nn = aij¶y nxi
—–
¶¶y nxj
—–
¶= ann¶y nxn
—–
¶¶y nxn
—–
¶= ann
—–
ann= 1
ǶΩ(7-22)
は成り立っているものとします。
次に、R
n = (z', zn )
(7-25a) u(z',
0) = (z', 0) ( u = (u¹ ,¼, un ) )
(7-25b)
¶uizn(z)
——–
¶= ain(u(z))
= 0
(7-26)
¶unz i(z)
——–
¶= dni
(7-27) akl(u(z))
¶ukz i(z)
——–
¶¶ulzn(z)
——–
¶= akl(u(z))
¶ukz i(z)
——–
¶aln
(u(z))
= dkn¶ukz i(z)
——–
¶=¶unz i(z)
——–
¶= dni º u-1(x)
(7-28) a'in
= akl(x) ¶xkz i
—–
¶ ¶xlzn
—–
¶= akl(u(z))
¶ukz i(z)
——–
¶¶ulzn(z)
——–
¶= dni(7-19b)
が成り立つことがわかります。Ω はコンパクトなので、このような座標系の有限個 { xi | i
ÎI }{ Ui | i
ÎI }(7-19)
を満たす局所座標 x とその定義域 U に対し、ǶΩ(7-21),(7-24)
により
(7-29)
¶n
—–
¶º n = ni¶ xi
—–
¶= - ain¶ xi
—–
¶= -¶ xn
—–
¶ º { i
ÎI | UiÇ¶Ω ¹ Æ }¶Ω{
ji | iÎJ }ji¶ΩåiÎJ ji²
> 0
また、R
+q(
0) ¹ 0q'(
0) = 0q を、すべての ÎJci(xi)
º ji(xi' )q(xin ) = (xi¹, xi² ,
¼, xin-1 )
更に、ÎI \
Jcic º åiÎI ci²
> 0
このとき、 = ci / Öc{ hi | i
ÎI }
(7-30)
å
iÎIhi
(x)²
= 1¶Ω
(7-31)
¶nci
—–
¶(xi)
= - ¶xinci
——
¶(xi)
= - ji(xi' ) g'(
0) = 0¶c/¶n = 0¶Öc /¶n = 0
(7-32)
¶hin
—–
¶= 0] s,
t [ ´ ¶Ωy に対し、
(7-33) vi(t, x)
=ì
í
î y(t, x')* xn
(
¶Ω Ç Ui Ì S1 のとき )
y(t, x')*
xn+ {s(t, x')* - b(t, x')*}y(t, x')* (
¶Ω Ç Ui Ì S2 のとき ) º (x¹ ,
¼, xn-1, 0)(7-10)
と
(7-34a)
-¶v*
—–¶n= y on
S1
(7-34b) v*
S = y on 2
(7-35)
v =
å
iÎIhi
²
vi(7-30)
と (7-32)
により (7-10),(7-34)
を満たします。ゆえにこの v を (7-15)
に代入すれば（既に第１項と第２項は消えているので）、
(7-36)
ò t d
t
s ò
S1y* (Bu
- j) dtS +ò t d
t
s ò
S2y* (Bu
- j) dtS = 0y の任意性により (7-3b)
が得られます。
以上で、可積分な f , j , o
ÎF (s,
t ; Ω)(7-3)
の解であることと、(7-12)
を満たす任意の ÎF (s,
t ; Ω)(7-14)
を満たすこととの同値性が証明されました。
ÎF (s, t ; Ω)
j , o
(7-12)
を満たす任意の ÎF (s,
t ; Ω)(7-14)
を満たす ] s,
t [ ´ Ω(7-3)
の弱解とよびます。
0 £ s < t £ T,
yÎΩ に対して定義された関数 (t, x ; s, y)
(s, y)
]
0, t [ ´ Ω(t, x)
0 £ s < t £ T
(7-37a) Bu
= 0 on ] s, t [ ´ ¶Ω(7-37b) u
(s, · )
Ω= 0 in ÎF (s, t ; Ω)
(7-38)
ò t
d
r
s òΩU
(t, x ; r, y) Lu(r, y) drVy
= u(t, x)(7-3)
の基本解といいます。以下順を追って、基本解の存在と一意性、及び基本解を用いた初期値境界値問題の解の存在と一意性、更に解の表示式を求めていきます。
