偏微分方程式

　本節から第10節までの３節にわたって、放物型初期値境界値問題の基本解を逐次近似法により構成します。

　まず前節 (7-28) までの議論で構成した開被覆 { U_i | iÎI } に対して (7-30),(7-32) を満たす関数族 { h_i | iÎI } を取り、各 iÎI に対して U_i において、基本解の逐次近似の第０近似となる関数を構成します。

　以下、記述の簡便のため、添字の i は省略します。各 U において、計量は一般に t に依存するため、局所座標 x はそれ自体 t に依存します。従って関数 f(t, x) の t に対する微分は、

(8-1)

¶ —–  ¶t

f(t, x) =

¶f —–  ¶t

(t, x) + vi(t, x)

¶ f —–  ¶xi

(t, x)

æ ç è

vi =

¶xi —–  ¶t

ö ÷ ø

となることに注意します。このような局所座標の下で、s < t と x, yÎU に対して

(8-2)  Γ(t, x ; s, y) º

1   —–—————––  Ö{4p(t - s)}n

exp

æ ç è

-

aij(s, y)(xi - y i )(xj - y j ) ——————————  4(t - s)

ö ÷ ø

(8-3)  J(t, s ; x) º 1 +

xn Ö____  t - ss(t, x') ——————–—– xn + Öt - s

= 1 + Ö____  t - s s(t, x') -

(t - s) s(t, x')  ———–——–– xn + Öt - s

(  x' = (x¹, x² ,¼, xn-1 )  )

(8-4)  H(t, x ; s, y) º	ì í î	h(x)h( y){ Γ(t, x ; s, y) - Γ(t, x ; s, y) }                    ( ¶ΩÇU Ì S1 のとき )	(  x = (x¹, x² ,¼, xn-1, -xn )  )
		h(x)h( y)J(t, s ; x){ Γ(t, x ; s, y) + Γ(t, x ; s, y) }     ( ¶ΩÇU Ì S2 のとき )

と置きます。

　まず最初に (8-4) の H が斉次の境界条件を満たすことを確かめましょう。境界 xⁿ = 0 において、x = x ですから、

(8-5a)  Γ(t, x ; s, y) = Γ(t, x ; s, y)

(8-5b)

¶ —–  ¶n

Γ(t, x ; s, y) = -

¶  —–  ¶xn

Γ(t, x ; s, y) =

¶  —–  ¶xn

Γ(t, x ; s, y) = -

¶ —–  ¶n

Γ(t, x ; s, y)

(8-5c)  J(t, s ; x' ) = 1 +

xn Ö____  t - ss(t, x') ——————–—– xn + Öt - s

½ ½ ½

xn = 0

= 1

(8-5d)

¶ —–  ¶n

J(t, s ; x) = -

¶  —–  ¶xn

J(t, s ; x)

½ ½ ½

xn = 0

= -

¶  —–  ¶xn

ì í î

1 + Ö____  t - s s(t, x') -

(t - s) s(t, x')  ———–——–– xn + Öt - s

ü ý þ

½ ½ ½

xn = 0

= -

(t - s) s(t, x')  ———–——––  (xn + Öt - s )²

½ ½ ½

xn = 0

= - s(t, x')

が成り立つので、(8-4),(8-5),(7-32) により、境界 xⁿ = 0 において

(8-6a)  Bt,x H(t, x ; s, y) = h(x)h( y){Γ(t, x ; s, y) - Γ(t, x ; s, y)} = 0       (  ¶ΩÇU Ì S1  のとき )

(8-6b)  Bt,x H(t, x ; s, y)	= æ ç è ¶  —–  ¶nx + s(t, x') ö ÷ ø [h(x)h( y)J(t, s ; x){ Γ(t, x ; s, y) + Γ(t, x ; s, y) }]
	= 2Γ(t, x ; s, y)h( y) æ ç è ¶  —–  ¶nx + s(t, x') ö ÷ ø [h(x)J(t, s ; x)] + h(x)h( y)J(t, s ; x) ¶ —–  ¶n { Γ(t, x ; s, y) + Γ(t, x ; s, y) }
	= 0       (  ¶ΩÇU Ì S2 のとき )

が成り立つことがわかります。

　次に、H が初期条件を満たす、すなわち (t, x) Î ]0, T [ ´ Ω と、{t} ´ U の近傍で連続な関数 u に対し、

(8-7)  v(t, s ; x) º

òU

H(t, x ; s, y) u(s, y) dsVy

と置き、s < t を満たしたまま s, t ® t とするとき、xÎU について有界で、U \ S₁ のコンパクト集合上一様に

(8-8)  v(t, s ; x) ® h(x)² u(t, x)

が成り立ち、更にもし u が S₁ÇU 上で 0 なら、xÎU に対して一様に (8-8) が成り立つことを証明しましょう。そのために、

(8-9)  g(t, x ; s, y) º	ì í î	h(x)h( y)                    ( ¶ΩÇU Ì S1 のとき )
		h(x)h( y)J(t, s ; x)     ( ¶ΩÇU Ì S2 のとき )

と置き、更に a_ij(s, y) , h( y) , u(s, y) の定義域を yⁿ < 0 にも拡張して

(8-10a)  aij(s, y) = aij(s, y)       ( i, j < n )

(8-10b)  ain(s, y) = an i(s, y) = - ain(s, y)       ( i < n )

(8-10c)  ann(s, y) = ann(s, y)

(8-10d)  h( y) º	ì í î	- h( y)       ( ¶ΩÇU Ì S1 のとき )
		h( y)       ( ¶ΩÇU Ì S2 のとき )

(8-10e)  u(s, y) = u(s, y)

と置くと

(8-11a)  Γ(t, x ; s, y) = Γ(t, x ; s, y)

(8-11b)  g(t, x ; s, y) = g(t, x ; s, y)

(8-11c)  H(t, x ; s, y) = g(t, x ; s, y) Γ(t, x ; s, y) + g(t, x ; s, y) Γ(t, x ; s, y) = g(t, x ; s, y) Γ(t, x ; s, y) + g(t, x ; s, y) Γ(t, x ; s, y)

が成り立ちます。
　また W º U È{ y | yÎU } と置くと、(7-19) により a_ij は、従って Γ(t, x : s, y) は yÎW に対して連続です。
　一方、g(t, x : s, y) u(s, y) は、yÎW \ S₁ において連続で、もし u が S₁ÇU 上で 0 なら yÎW において連続であることに注意します。

　さて、(8-7) と (8-11c) により

(8-12)  v(t, s ; x) º

òW

Γ(t, x ; s, y) g(t, x ; s, y) u(s, y) dsVy =

1  ––—————–  Ö{4p(t - s)}n

òW

g(t, x ; s, y) u(s, y)Öa(s, y) exp

æ ç è

-

aij(s, y)(xi - y i )(xj - y j ) ——————————  4(t - s)

ö ÷ ø

dy¹¼dyn

となりますが、ここで積分変数を y から

(8-13)  ξ = jt, s, x( y) º

x - y —–——–  2Öt - s

に変換すれば、

(8-14)  v(t, s ; x) =

1  ——–  Öpn

ò

jt, s, x(W )

g(t, x ; s, x - 2Ö____  t - sξ ) u(s, x - 2Ö____  t - sξ ) a(s, x - 2Ö____  t - sξ )½ exp{ - aij(s, x - 2Ö____  t - sξ ) xix j }dx¹¼dxn

が成り立ちますから、(8-14) 右辺の被積分関数は、一様に exp ( - k' | ξ |² ) の定数倍で押さえられます。

　さて、(8-8) を証明するには、s < t かつ s, t ® t で、x ® x_oÎU （ただし u が S₁ÇU 上で 0 でないときは x_oÏS₁ とする）とするとき、(8-8) の左辺が (8-8) の右辺の x に x_o を代入したものに収束することを示せば十分です。
　まず、v が 0 でないのは x_o の近傍が h の台に含まれる、すなわち W の内点である場合ですから、任意の ξÎRⁿ に対して y = x - 2Ö____ 
t - sξ ® x_o となることから、s , t が t に十分近ければ yÎW となり、これは、j_{t, s, x}(W ) ® Rⁿ を意味します。
　また、s < t かつ s, t ® t のとき

(8-15)  | J(t, s ; x) - 1 | =

½ ½

Ö____  t - s s(t, x') -

(t - s) s(t, x')  ———–——–– xn + Öt - s

½ ½

£ Ö____  t - s | s(t, x') | +

(t - s)|s(t, x')|  ——–——–—— Öt - s

£ 2Ö____  t - s | s(t, x') | ® 0

が成り立ち、仮定により g(t, x ; s, y) u(s, y) は (t, x_o ; t, x_o) の近傍で連続ですから、s < t , s, t ® t かつ x ® x_o のとき

(8-16)  g(t, x ; s, x - 2Ö____  t - sξ ) u(s, x - 2Ö____  t - sξ ) ® g(t, xo ; t, xo) u(t, xo) = h(xo)² u(t, xo)

となるので、Lebesgueの収束定理により

(8-17)  v(t, s ; x) ®

1  ——–  Öpn

h(xo)² u(t, xo) Ö_______  a(t, xo)

ò

Rn

exp { - aij(t, xo) xix j } dx¹¼dxn

となります。ここで正値対称行列 a(t, x_o) の平方根、すなわち

(8-18)  aij(t, xo) = wikwjldkl

を満たす正値対称行列 ω を取り、変数を z_k = w_ikxⁱ に変更すれば、dz₁¼dz_n = (det ω) dx¹¼dxⁿ = Ö_______ 
a(t, x_o) dx¹ ¼ dxⁿ ですから

(8-19)  v(t, s ; x) ®

1  ——–  Öpn

h(xo)² u(t, xo)

ò

Rn

exp ( - | ζ |² ) dz¹¼dzn = h(xo)² u(t, xo)

となることがわかり、(8-8) は証明されました。

　次に、有界な関数 Λ(t, x) が存在し、k' より小さいある正数 k" に対して [r, t] ´ U で定義された可測関数 f が、

(8-20a)  |  f(s, x) | £ Λ(t, x)

(8-20b)

ò

t    ds r

òU

(t - s)-n/2 - a exp( - k"| ξ |² ) |  f(s, y) | dsVy  £  (t - r)1-aΛ(t, x)         ( a = 0, 1/2 )

という評価式（ただし ξ は (8-13) で定義したもの。以下同じ）を満たすとき、

(8-21)  u(t, x) º

ò

t    ds r

òU

H(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy

の微分可能性について調べましょう。Γ º Γ(t, x ; s, y) と略記すれば、

(8-22a)  Γ = O( (t - s)-n/2 exp( - k' | ξ |² ) )

(8-22b)

¶Γ  —–  ¶xi

= -

aij(s, y)(xj - y j ) ——————–  2(t - s)

Γ = O( (t - s)-n/2 -1/2 | ξ | exp( - k' | ξ |² ) ) = O( (t - s)-n/2 -1/2 exp( - k"| ξ |² ) )

(8-22c)

¶²Γ  ——–  ¶xi¶x j

= -

aij(s, y) ———–  2(t - s)

Γ -

aik(s, y)(xk - y k ) ———————  2(t - s)

¶Γ  —–  ¶x j

= O( (t - s)- n/2 - 1 (1 + | ξ |²) exp( - k' | ξ |² ) )

(8-22d)

¶²Γ  ——–  ¶xi¶x j

+

¶²Γ  ———  ¶y i¶x j

=

¶  —–  ¶x j

æ ç è

¶Γ  —–  ¶xi

+

¶Γ  —–  ¶y i

ö ÷ ø

= -

¶  —–  ¶x j

æ ç è

¶ajk(s, y) ———–  ¶y i

(x j - z j )(xk - z k ) ———————–  4(t - s)

Γ

ö ÷ ø

= O( (t - s)- (n + 1) / 2 ( | ξ | + | ξ |²) exp( - k' | ξ |² ) )

　また (8-3) から、α º (α', α_n )ÎNⁿ に対して

(8-23)

¶αJ ——  ¶xα

=

¶α —–  ¶xα

ì í î

1 + Ö____  t - s s(t, x') -

(t - s) s(t, x')  ———–——–– xn + Öt - s

ü ý þ

= 1 + Ö____  t - s

¶α's ——–   ¶x' α'

- (- 1)an an!

(t - s) ———–——–——  (xn + Öt - s )an+1

¶α's ——–   ¶x' α'

= O( (t - s)min {0, 1 - an }/2 )

という評価が得られます。そこで g º g(t, x ; s, y) 及び f º f(s, y) と略記し、

(8-24a)  v(t, x) =

ò

t    ds r

òU

gΓf dsVy

(8-24b)  vi(t, x) º

ò

t    ds r

òU

¶(gΓ ) ——–  ¶xi

f dsVy

と置くと、(8-22a),(8-22b),(8-23),(8-20b) により

(8-25a)  | v(t, x) | £ C

ò

t    ds r

òU

(t - s)-n/2 exp( - k' | ξ |² ) |  f(s, y) | dsVy £ C' (t - r) Λ(t, x)

(8-25b)  | vi(t, x) | £ C

ò

t    ds r

òU

(t - s)-n/2 - 1/2 exp( - k"| ξ |² ) |  f(s, y) | dsVy £ C' Ö____  t - rΛ(t, x)

となるので、v は r £ t で x についてC¹級で、微分と積分の順序が交換できる、すなわち

(8-26)

¶v —–  ¶xi

= vi

が成り立つことがわかり、x に x を代入したものも同様ですから、u も r £ t で x についてC¹級で、微分と積分の順序が交換できることがわかりました。

　次に、f について更に

(8-27)

ò

t    ds r

òU

(t - s)-n/2 -1 exp( - k"| ξ |² ) |  f(s, y) - f(s, x) | dsVy  £  Λ(t, x)

が成り立つと仮定します。このとき

(8-28)  vij(t, x) º

ò

t    ds r

òU

¶²(gΓ ) ———  ¶xi¶x j

f dsVy

と置くと、y ® s の順に積分すれば積分可能で、境界点を除き、境界まで含めて連続なある関数に一致することを証明しましょう。
　g' º g(t, x ; s, x) , p º f(s, y)Ö______
a(s, y) , p' º f(s, x)Ö______
a(s, x) と略記すれば、

(8-29)  vij(t, x) =

ò

t    ds r

ò

Rn+

ì í î

æ ç è

¶²g  ——–  ¶xi¶x j

Γ +

¶g  —–  ¶xi

¶Γ  —–  ¶x j

+

¶g  —–  ¶x j

¶Γ  —–  ¶xi

ö ÷ ø

p +

¶²Γ  ——–  ¶xi¶x j

( g p - g' p' ) + g' p'

æ ç è

¶²Γ  ——–  ¶xi¶x j

+

¶²Γ  ———  ¶y i¶x j

ö ÷ ø

- g' p'

¶²Γ  ———  ¶y i¶x j

ü ý þ

dy¹¼dyn

　この右辺の被積分関数の一部については、(8-22),(8-23) により、| ξ | に対するある正係数の多項式 P( | ξ | ) により

(8-30a)

¶²g  ——–  ¶xi¶x j

Γ p  ,

¶g  —–  ¶xi

¶Γ  —–  ¶x j

p  ,

¶g  —–  ¶x j

¶Γ  —–  ¶xi

p = O( (t - s)-n/2 - 1/2 P( | ξ | ) exp( - k' | ξ |² ) |  f(s, y) | ) = O( (t - s)-n/2 - 1/2 exp( - k"| ξ |² ) |  f(s, y) | )

(8-30b)  g' p'

æ ç è

¶²Γ  ——–  ¶xi¶x j

+

¶²Γ  ———  ¶y i¶x j

ö ÷ ø

= O( (t - s)-n/2 - 1/2 P( | ξ | ) exp( - k' | ξ |² ) |  f(s, x) | ) = O( (t - s)-n/2 - 1/2 exp( - k"| ξ |² ) |  f(s, x) | )

という評価が得られ、これらの積分については、(8-30a) の方は (8-20b) を用い、(8-30b) の方は (8-20a) を用いることにより、(8-25b) と同じ評価式が成り立ちます。
　また、q º g(t, x ; s, y)Ö______
a(s, y) , q' º g(t, x ; s, x)Ö______
a(s, x) ,  f º f(s, y) ,  f ' º f(s, x) と置けば、

(8-31)  | g p - g' p' | = | q f - q' f ' | £ | q( f - f ' ) | + | (q - q' ) f ' | £ C |  f - f ' | + C | y - x | |  f ' |

と評価できるので、(8-22c) と (8-31) により

(8-32)	¶²Γ  ——–  ¶xi¶x j	( g p - g' p' )	= O( (t - s)-n/2 -1 (1 + | ξ |²) exp( - k' | ξ |² ) |  f - f ' | )  +  O( (t - s)-n/2 -1 (1 + | ξ |²) exp( - k' | ξ |² ) | y - x | |  f ' | )
			= O( (t - s)-n/2 -1 (1 + | ξ |²) exp( - k' | ξ |² ) |  f(s, y) - f(s, x) | )  +  O( (t - s)-n/2 - 1/2 (1 + | ξ |²) exp( - k' | ξ |² ) | ξ | |  f(s, x) | )
			= O( (t - s)-n/2 -1 exp( - k"| ξ |² ) |  f(s, y) - f(s, x) | )  +  O( (t - s)-n/2 - 1/2 exp( - k"| ξ |² ) |  f(s, x) | )

ですから、右辺第１項に (8-27) を、第２項に (8-20a) を適用することにより、この絶対値の積分は

(8-33)

ò

t    ds r

ò

Rn+

½ ½ ½

¶²Γ  ——–  ¶xi¶x j

( g p - g' p' )

½ ½ ½

dy¹¼dyn £ C{ Λ(t, x) + Ö____  t - rΛ(t, x) } £ C' Λ(t, x)

と評価されます。
　さて、最後に残った項：

(8-34)  wij(t, x) º -

ò

t    ds r

ò

Rn+

g' p'

¶²Γ  ———  ¶y i¶x j

dy¹¼dyn = - g' p'

ò

t    ds r

ò

Rn+

¶  —–  ¶y i

¶Γ  —–  ¶x j

dy¹¼dyn

を考えます。i ¹ n なら右辺の積分は 0 となり、j ¹ n なら i と j の役割を入れ替えればよいので、i = j = n の場合のみ考えれば十分です。(7-19) と (8-22b) により

(8-35)  wnn(t, x)	= g' p' ò  t    ds r  ò Rn-1 ¶Γ  —–  ¶xn ½ ½ ½  yn = 0 dy¹¼dyn-1
	=  g' p'   —–—————––  Ö{4p(t - s)}n  ò  t    ds r  ò Rn-1 - xn ———  2(t - s) exp æ ç è - ( xn )² ——— 4(t - s) ö ÷ ø exp æ ç è -   å i, j<n aij(s, ( y', 0))(xi - y i )(xj - y j ) ————————————  4(t - s) ö ÷ ø dy¹¼dyn-1

　ここで、積分変数を y と s からそれぞれ

(8-36a)  ξ' º

x' - y' —–——–  2Öt - s

(8-36b)  t º

xn —–——–  2Öt - s

に変換すれば、

(8-37a)

dy¹ ¼ dyn-1 –—————— Ö{4(t - s)}n-1

= dx1 ¼ dxn-1

(8-37b)

1 ————–  Ö4(t - s)

- xn ———  2(t - s)

ds = - dt

ですから、xⁿ ¹ 0 ならば

(8-38)  wnn(t, x) =

g' p'  ——  Öpn

ò

¥        exp ( - t² ) dt           ___ xn/(2Öt - r)

ò

Rn-1

exp { -

å i, j<n

aij(s, (x' - xnξ'/t, 0)) xixj } dx1¼dxn-1

となりますが、この右辺を（ xⁿ = 0 の点も含めて） w° º w°(t, x) と書くと、その被積分関数は、可積分関数 exp ( - t² ) exp ( - | ξ' |²/k ) の定数倍で一様に押さえられるので、Lebesgueの収束定理により r < t と xⁿ ³ 0 で連続で

(8-39)  | w°(t, x) | £ C | g' p' | £ C' |  f(s, x) | £ C" Λ(t, x)

という評価が得られます。

　以上の評価式 (8-30),(8-33),(8-39) を纏めると、(8-28) の v_ij は、r < t と xÎU で連続なある関数 v°_ij とほとんど至るところ（ 具体的には境界点 xⁿ = 0 を除いて）一致し、

(8-40)  | v°ij(t, x) | £ C Λ(t, x)

という評価式が成り立つことがわかります。ここで v°_ij を xⁱ に対して区間 [xⁱ°, xⁱ] で積分すれば、

(8-41)	ò	xi     v°ij(t, x) dxi xi°	= ò xi     vij(t, x) dxi xi°
			= ò xi   dxi xi° ò  t    ds r  òU ¶²(gΓ ) ———  ¶xi¶x j  f dsVy
			= ò  t    ds r  ò xi   dxi xi° òU ¶²(gΓ ) ———  ¶xi¶x j  f dsVy
			= ò  t    ds r  òU ì í î ¶(gΓ ) ——–  ¶x j - ¶(gΓ ) ——–  ¶x j ½ ½ ½ xi = xi° ü ý þ  f dsVy
			= vj(t, x) - vj(t, x) ½ ½ xi = xi°

となるので、両辺を xⁱ で微分して (8-26) を使えば

(8-42)  vij° =

¶vj —–  ¶xi

=

¶²v  ——–  ¶xi¶x j

となるので、v は r < t で x に関してC²級であることがわかります。

　さて、x, yÎU のとき

(8-43)  | x - y | ³ | x - y |

が成り立つので、f(t, x) º f(t, x) と定義すれば、(8-20),(8-27) は、それぞれの左辺の x を x に置き換えてもやはり成立します。

　ゆえに上記の結果を v(t, x) º v(t, x) について適用し（ただし (8-36b) のかわりにその右辺の符号を変えたものを t と置く）、(8-11c),(8-24a) により (8-21) の u は、u = v + v と書けることに注意すれば、u は r £ t , xÎΩ において x に関する１階以下の微分が連続、r < t , xÎΩ において x に関する２階以下の微分が連続で、評価式：

(8-44a)  u º

ò

t    ds r

òU

H(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy = O( (t - r) Λ(t, x) )

(8-44b)

¶u  —–  ¶xi

=

ò

t    ds r

òU

¶H(t, x ; s, y)  —————–  ¶xi

f(s, y)dsVy  = O( Ö____  t - rΛ(t, x) )

(8-44c)

¶²u  ——— ¶xi¶x j

=

ò

t    ds r

òU

¶²H(t, x ; s, y)  —————–  ¶xi¶x j

f(s, y)dsVy = O( Λ(t, x) )

が成り立つことがわかります。