偏微分方程式

　本節では、H の微分に関する評価式を求めます。

　まず、表記の簡素化のために、微分演算子 L の係数 a_ij , b_i , c は、引数が (t, x) のときは引数を省略し、引数が (s, y) のときは各係数に ' を付けた上で引数を省略することにします。
　また、Γ º Γ(t, x ; s, y) と略し、ξ を (8-13) の意味で使用することにします。(8-10) によって a_ij(s, y) , h( y) の定義域を yⁿ < 0 に拡張しても

(9-1)  aij - aij' = aij(t, x) - aij(s, y) = O(t - s) + O(x - y) = O( Ö____  t - s( 1 + | ξ | ) )

が成り立つことに注意すれば、(8-2),(8-22a)~(8-22c) により、

(9-2)  LΓ	= ¶Γ —–  ¶t - 1 —– Öa ¶  —–  ¶xi æ ç è Öa aij ¶Γ  —–  ¶xj ö ÷ ø - bi ¶Γ  —–  ¶xi - cΓ
	= ¶Γ —–  ¶t - aij ¶²Γ  ———  ¶xi¶x j - p ¶Γ  —–  ¶xj - cΓ       æ ç è    p º 1 —– Öa ¶  —–  ¶xi ( Öa aij ) + bi   ö ÷ ø
	= ì í î -  n ———  2(t - s) +  akl' (xk - y k )(xl - y l ) —————————  4(t - s)² - aij' vi(xj - y j ) ——————  2(t - s) ü ý þ Γ - aij ì í î -  aij' ———  2(t - s) Γ - aik'(xk - y k ) —————  2(t - s) ¶Γ  —–  ¶x j ü ý þ - p ¶Γ  —–  ¶xj - cΓ
	= ì í î  aijaij' ———  2(t - s) -  n ———  2(t - s) ü ý þ Γ + ì í î  akl' (xk - y k )(xl - y l ) —————————  4(t - s)² Γ + aijaik'(xk - y k ) ——————–  2(t - s) ¶Γ  —–  ¶x j ü ý þ - ì í î aij' vi(xj - y j ) ——————  2(t - s) + c ü ý þ Γ - p ¶Γ  —–  ¶xj
	= ì í î  aijaij' ———  2(t - s) -  aijaij ———  2(t - s) ü ý þ Γ + ì í î  aij'aik'ajl' (xk - y k )(xl - y l ) ———————————–  4(t - s)² -  aijaik'ajl' (xk - y k )(xl - y l ) ———————————–  4(t - s)² ü ý þ Γ - ì í î aij' vi(xj - y j ) ——————  2(t - s) + c ü ý þ Γ + p aij' (xi - yi ) —————  2(t - s) Γ
	= FΓ
	= O æ ç è P( | ξ | ) ———–– Öt - s  ö ÷ ø Γ
	= O( (t - s)-n/2 - 1/2 P( | ξ | ) exp( - k' | ξ |² ) )
	= O( (t - s)-n/2 - 1/2 exp( - k"| ξ |² ) )

という評価式が得られます。ただし

(9-3)  F º

aij(aij' - aij) —————  2(t - s)

+

(aij' - aij ) aik'ajl' (xk - y k )(xl - y l ) ——————————————–  4(t - s)²

-

aij' vi(xj - y j ) ——————  2(t - s)

- c

+ p

aij' (xi - yi ) —————  2(t - s)

で、また、文字 P で正係数の多項式を一般的に表すものとします。
　また、(8-22b) で i = n , xⁿ = 0 として (7-19) を用いれば、

(9-4)	¶Γ  —–  ¶xn	½ ½ ½	xn = 0	= ì í î (an j - an j' )(xj - y j ) ————————  2(t - s) - an j(xj - y j ) —————  2(t - s) ü ý þ Γ ½ ½ ½ xn = 0
				= ì í î (an j - an j' )(xj - y j ) ————————  2(t - s) +  y n ———  2(t - s) ü ý þ Γ ½ ½ ½ xn = 0
				= O æ ç è | ξ | + | ξ |² +  y n ———  2(t - s) ö ÷ ø Γ ½ ½ ½ xn = 0
				= O( P(ξ )(t - s)- n/2 + y n (t - s)- n/2 - 1 ) exp( - k' | ξ |² ) ½ ½ xn = 0
				= O( (t - s)- n/2 + y n (t - s)- n/2 - 1 ) exp( - k"| ξ |² ) ½ ½ xn = 0
				= O( (t - s)- n/2 + y n (t - s)- n/2 - 1 ) exp( - k"| ξ' |² ) exp æ ç è - k"( y n )² ———– 4(t - s) ö ÷ ø

となります。また (8-23) により、α º (α', α_n )ÎNⁿ に対して

(9-5)

¶¶αJ ——–  ¶t¶xα

= O( (t - s)(- 1 - an ) / 2 )

という評価式が得られるので、これと (8-23),(8-9) により

(9-6a)

¶αg ——  ¶xα

= O( (t - s)min {0, 1 - an }/2 )

(9-6b)

¶¶αg ——–  ¶t¶xα

= O( (t - s)(- 1 - an ) / 2 )

が成り立つので、(8-22a)~(8-22c),(9-4) と (9-6a) により

(9-7a)  gΓ = O( (t - s)- n/2 exp( - k' | ξ |² ) )

(9-7b)

¶(gΓ )  ——–  ¶xi

= O( (t - s)-n/2 - 1/2 exp( - k"| ξ |² ) )

(9-7c)

¶²(gΓ )  ———  ¶xi¶x j

= O( (t - s)- n/2 - 1 exp( - k"| ξ |² ) )

(9-7d)

¶(gΓ )  ——–  ¶nx

=

¶(gΓ )  ——–  ¶xn

½ ½ ½

xn = 0

= O( (t - s)- n/2 + y n (t - s)- n/2 - 1 ) exp( - k"| ξ' |² ) exp

æ ç è

-

k"( y n )² ———– 4(t - s)

ö ÷ ø

が成り立ち、更に

(9-8)  L( gΓ ) = ΓLg - 2aij

¶g —–  ¶xi

¶Γ —–  ¶x j

+ gLΓ - cgΓ = GΓ

　ただし

(9-9)  G º Lg - cg + aij

¶g —–  ¶xi

akj' (xk - y k ) —————–  t - s

+ gF

が成り立ちます。ただし最後の F は (9-3) で定義したものです。一方 (9-3),(9-9),(9-6) により

(9-10)  F, G = O

æ ç è

P( | ξ | ) ———–– Öt - s

ö ÷ ø

となります。一方 H º H(t, x ; s, y) , Γ º Γ(t, x ; s, y) , g º g(t, x ; s, y) , J º L_{t, x}H と略記すれば、(8-11c) により

(9-11)  H = gΓ + g Γ

ですから、(8-43) に注意すれば、これと (9-7) により

(9-12a)  H = O( (t - s)- n/2 exp( - k' | ξ |² ) )

(9-12b)

¶H  —–  ¶xi

, J = O( (t - s)-n/2 - 1/2 exp( - k"| ξ |² ) )

(9-12c)

¶²H  ——–  ¶xi¶x j

= O( (t - s)- n/2 - 1 exp( - k"| ξ |² ) )

(9-12d)

¶H  —–  ¶nx

=

¶H  —–  ¶xn

½ ½ ½

xn = 0

= O( (t - s)- n/2 + y n (t - s)- n/2 - 1 ) exp( - k"| ξ' |² ) exp

æ ç è

-

k"( y n )² ———– 4(t - s)

ö ÷ ø

という評価式が得られ、更に (9-12a)~(9-12c) により

(9-12e)

¶H —–  ¶t

= J + AH = O( (t - s)- n/2 - 1 exp( - k"| ξ |² ) )

　一方

(9-13a)

ò

t    dr s

òSi

(r - s)- n/2 exp( - k"| ξ' |² ) drSx £ C

ò

t   (r - s)- 1/2 dr s

òRn-1

exp( - k"| ξ' |² ) dx'1¼dx'n-1 £ C'         (  i = 1, 2  )

及び

(9-13b)	ò	t    dr s	òS1	y n (r - s)- n/2 - 1 exp( - k"| ξ' |² ) exp æ ç è - k"( y n )² ———– 4(r - s) ö ÷ ø drSx
				£ C ò  t     y n (r - s)- 3/2 exp - ¥  æ ç è - k"( y n )² ———– 4(r - s) ö ÷ ø dr òRn-1 exp( - k"| ξ' |² ) dx'1¼dx'n-1
				= C ò  ¥     r- 1/2 exp 0  æ ç è - k"r —– 4 ö ÷ ø dr òRn-1 exp( - k"| ξ' |² ) dx'1¼dx'n-1         æ ç è   r = ( y n )² ——–  r - s   ö ÷ ø
				< ¥

が成り立つので、これらと (9-12a),(9-12d) により、評価式：

(9-14a)

ò

t    dr s

òS2

| H(r, x ; s, y) | drSx £ C

(9-14b)

ò

t    dr s

òS1

½ ½ ½

¶H(r, x ; s, y)  —————–  ¶nx

½ ½ ½

drSx £ C

が得られます。

　さてここで、前節 (8-44a) で定義した u の t に関する微分を考えます。r を固定して

(9-15)  ve(t, x) =

ò

t - e    ds r

òU

J(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy

と置くと、J = L_{t, x}H = ¶H/¶t - A_{t, x}H ですから

(9-16)  ve(t, x) +

ò

t - e    ds r

òU

At, xH(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy =

ò

t - e    ds r

òU

¶H(t, x ; s, y) —————– ¶t

f(s, y) dsVy =

ò

t - e    ds r

¶ —–  ¶t

òU

H(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy

　よって t を t と書き換えて、r + e から t まで積分すれば、

(9-17)	ò	t    ve(t, x) dt + r + e	ò	t    dt r + e	ò	t - e    ds r	òU	At, xH(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy	= ò  t    dt r + e  ò  t - e    ds r  ¶ —– ¶t òU H(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy
									= ò  t - e    ds r  ò  t    dt s + e  ¶ —– ¶t òU H(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy
									= ò  t - e    ds r  òU {H(t, x ; s, y) - H(s + e, x ; s, y)}f(s, y) dsVy

　よって e ® 0 とすれば、(8-44) と (8-8) により

(9-18)

ò

t    v0(t, x) dt + r

ò

t    At, xu(t, x) dt = u(t, x) - r

ò

t     h(x)² f(s, x) ds r

　ゆえに両辺を t で微分すれば、r < t において u は t に関する１階微分が連続で、

(9-19)  Lu(t, x) = vo(t, x) + h(x)² f(t, x) =

ò

t    ds r

òU

J(t, x ; s, y) f(s, y) dsVy + h(x)² f(t, x)

が成り立つことがわかります。

　さて次に、J_r º J(t, x_r ; s, y) ( r = 1, 2 ) に対して

(9-20)  J1 - J2 = O( Ö________ | x1 - x2 | (t - s)-n/2-3/4{ exp ( - k"| ξ1 |² ) + exp ( - k"| ξ2 |² ) } )

æ ç è

ξr º

xr - y —–——–  2Öt - s

ö ÷ ø

という評価が成り立つことを証明しましょう。もし | x₁ - x₂ | ³ Ö____ 
t - s なら、(9-12b) により

(9-21)  Jr = O( (t - s)-n/2-1/2 exp ( - k"| ξr |² ) = O( Ö________ | x1 - x2 | (t - s)-n/2-3/4 exp ( - k"| ξr |² ) )

となって (9-20) は自明に成り立つので、

(9-22)  | x1 - x2 | £ Ö____  t - s

の場合のみを考えれば十分です。更に (9-20) の x₁ と x₂ に関する対称性により

(9-23)  | x2 - y | £ | x1 - y |

と仮定しても一般性を失いません。

(9-24)  | xr - y | ³ | xr - y | = 2| ξr |Ö____  t - s

ですから、(9-20) の J を L(gΓ ) に置き換えた式を証明すれば十分です。

　一方 (9-23) により、0 £ q £ 1 に対して

(9-25)  | {x1 + q(x2 - x1)} - y | = | (1 - q)(x1 - y) + q(x2 - y) | £ (1 - q)| x1 - y | + q | x2 - y | £ | x1 - y |

が成り立つので、(9-3) により、q について一様に

(9-26a)  | F(t, x1 + q(x2 - x1) ; s, y) | £

P( | ξ1 | ) —–——––  Öt - s

(9-26b)

½ ½ ½

¶F —–  ¶xi

(t, x1 + q(x2 - x1) ; s, y)

½ ½ ½

£

P( | ξ1 | ) —–——— t - s

が成り立つので、これと (9-9),(9-10) により

(9-27a)  | G(t, x1 + q(x2 - x1); s, y) | £

P( | ξ1 | ) —–——––  Öt - s

(9-27b)

½ ½ ½

¶G —–  ¶xi

(t, x1 + q(x2 - x1); s, y)

½ ½ ½

£

P( | ξ1 | ) —–——— t - s

　したがって、一般に x を変数に持つ関数 Z の x に x_r を代入したものを Z_r と書けば、

(9-28a)  | Gr | £

P( | ξ1 | ) —–——––  Öt - s

(9-28b)  | G1 - G2 | £

ò

1 0

½ ½ ½

¶G —–  ¶xi

(t, x1 + q(x2 - x1); s, y)

½ ½ ½

| x2i - x1i | dq =

| x1 - x2 | ————  t - s

P( |ξ1 | )

という評価式が得られます。ゆえに、(9-8) により

(9-29)  L1(g1Γ1) - L2(g2Γ2) = G1Γ1 - G2Γ2 = (G1 - G2)Γ1 + G2(Γ1 - Γ2)

と分けると、(9-28b) と (9-22) により

(9-30)  | (G1 - G2)Γ1 |	£ | x1 - x2 | ————  t - s P( | ξ1 | )Γ1
	£ Ö________ | x1 - x2 | ————–   (t - s)1/4   Ö________ | x1 - x2 | ————–   (t - s)3/4   P( | ξ1 | )  ––—————–  Ö{4p(t - s)}n  exp æ ç è - aij' (x1i - y i )(x1j - y j ) —————————  4(t - s) ö ÷ ø
	£ Ö________ | x1 - x2 | P( | ξ1 | ) (t - s)-n/2-3/4 exp ( - k' | ξ1 |² )
	£ Ö________ | x1 - x2 | (t - s)-n/2-3/4 exp ( - k"| ξ1 |² )

となり、これは (9-20) の右辺で押さえられます。
　また、任意の実数 a , b に対し、平均値の定理により | e^a - e^b | £ |a - b| max { e^a, e^b } £ |a - b| ( e^a + e^b ) となるので、

(9-31)  | G2(Γ1 - Γ2) |	£ P( | ξ2 | )  ––———–  Ö(t - s)n+1 ½ ½ ½ exp æ ç è - aij' (x1i- y i)(x1j- y j) ————————–  4(t - s) ö ÷ ø - exp æ ç è - aij' (x2i- y i)(x2j- y j) ————————–  4(t - s) ö ÷ ø ½ ½ ½
	£ | aij' {(x1i- y i)(x1j- y j) - (x2i - y i)(x2j - y j)}|  –—————————————————————– (t - s) Ö(t - s)n+1  P( | ξ2 | ) ì í î exp æ ç è - aij' (x1i- y i)(x1j- y j) ————————–  4(t - s) ö ÷ ø + exp æ ç è - aij' (x2i- y i)(x2j- y j) ————————–  4(t - s) ö ÷ ø ü ý þ
	£ | aij' (x1i- y i + x2i- y i)(x1j - x2j)|  –———————————————– (t - s) Ö(t - s)n+1  P( | ξ2 | ) { exp ( - k' | ξ1 |² ) + exp ( - k' | ξ2 |² ) }
	£ ( | x1 - y | + | x2 - y | ) | x1 - x2 |  ———————————————–  Ö(t - s)n+3 P( | ξ2 | ) exp ( - k' | ξ2 |² )

　ここで場合分けをして、まず | x₁ - x₂ | £ | y - x₂ | の場合を考えます。

(9-32)  | x1 - y | £ | x1 - x2 | + | x2 - y | £ 2 | x2 - y |

が成り立つことに注意すると、

(9-33)  | G2(Γ1 - Γ2) |	£ | x2 - y | | x1 - x2 |  ——–————–—— Ö(t - s)n+3 P( | ξ2 | ) exp ( - k' | ξ2 |² )
	£ | x2 - y | Ö________ | x1 - x2 | Ö_________ 2| y - x2 | ———————————————– Ö(t - s)n+3   P( | ξ2 | ) exp ( - k' | ξ2 |² )
	= Ö________ | x1 - x2 | | ξ2 |3/2 P( | ξ2 | ) (t - s)-n/2-3/4 exp ( - k' | ξ2 |² )
	£ Ö________ | x1 - x2 | (t - s)-n/2-3/4 exp ( - k"| ξ2 |² )

となって、これもやはり (9-20) の右辺で押さえられます。

　また、| x₁ - x₂ | ³ | y - x₂ | の場合は、(9-22) から | x₁ - y | £ | x₁ - x₂ | + | x₂ - y | £ 2 | x₁ - x₂ | £ 2Ö____ 
t - s と | x₂ - y | £ | x₁ - x₂ | £ Ö____ 
t - s が成り立ち、 従って | ξ₂ | £ 1/2 が成り立つので、

(9-34)  | G2(Γ1 - Γ2) | £ C

( | x1 - y | + | x2 - y | ) | x1 - x2 | ———————————————– Ö(t - s)n+3

£ 3C

| x1 - x2 | —————– Ö(t - s)n+2

= 3CÖ________ | x1 - x2 | (t - s)-n/2-3/4 £ C' Ö________ | x1 - x2 | (t - s)-n/2-3/4 exp ( - k"| ξ2 |² )

となって、やはり (9-20) の右辺で押さえられます。以上で (9-20) は証明されました。