偏微分方程式

　本節では、前節で構成した局所的な第０近似を大域的に張り合わせたものから出発して、逐次近似法により基本解を構成します。
　各 iÎI に対し、第８節で U_i 上で構成した H と J をそれぞれ H_i , J_i と書き、

(10-1)  H(t, x ; s, y) º

å  iÎI

Hi(t, x ; s, y)

(10-2)  J(t, x ; s, y) º

å  iÎI

Ji(t, x ; s, y) = Lt, xH(t, x ; s, y)

と置きます。このとき、(8-6) により、境界条件：

(10-3)  Bt, xH(t, x ; s, y) = 0

が成り立ちます。また、(t, x) Î ]0, T [ ´ Ω と、{t} ´ Ω の近傍で連続な関数 u に対し、

(10-4)  v(t, s ; x) º

òΩ

H(t, x ; s, y) u(s, y) dsVy =

å  iÎI

ò

Ui

Hi(t, x ; s, y) u(s, y) dsVy       ( t > s )

と置くと、(8-8) と (7-30) により、v は有界で、s < t かつ s, t ® t のとき、xÎΩ \ S₁ についてコンパクト集合上一様に

(10-5)  v(t, s ; x) =

å  iÎI

ò

Ui

Hi(t, x ; s, y) u(s, y) dsVy ®

å  iÎI

hi(x)² u(t, x) = u(t, x)

が成り立ち、更にもし u が S₁ 上で 0 なら、xÎΩ に対して一様に (10-5) が成り立ちます。

　さてここで、

(10-6)  El(t, x ; s, y) º (t - s)-n/2 exp

æ ç è

- l

d(x, y)² ——— t - s

ö ÷ ø

と置くとき、任意の l, m > 0に対して n > 0 が存在して

(10-7a)

òΩ

El(t, x ; s, y) dsVy £ C

(10-7b)

òΩ

El(t, x ; r, z) Em(r, z ; s, y) drVz £ C En(t, x ; s, y)             ( s < r < t )

が成り立つことを証明しておきます。

　まず { U_i | iÎI } はコンパクト集合 Ω の開被覆なので、ある e > 0 が存在して、任意の xÎΩ に対して iÎI が存在して B_e(x) Ì U_i となります。ただし B_e(x) は距離 d に関する x の e 近傍を表わします。ゆえに (10-7a) の左辺を I と書くと、(7-18) により

(10-8)  I	£ ò Ui El(t, x ; s, y) dsVy + ò Ω \ Be(x) El(t, x ; s, y) dsVy
	£ C' ò Rn (t - s)-n/2 exp æ ç è - lk'  | x - y |² ———  t - s ö ÷ ø dy1¼dyn + (t - s)-n/2 exp æ ç è - l e² ——  t - s ö ÷ ø ò Ω \ Be(x) dsVy
	£ C' ò Rn exp ( - lk' | η |² ) dh1¼dhn + C" òΩ dsVy

となって、この右辺は s , t , x によらない定数です。これで (10-7a) は証明されました。

　次に、e > 0 を、任意の xÎΩ に対して iÎI が存在して B_2e(x) Ì U_i となるように取ります。このとき B_e(x) Ç B_e( y) ¹ Æ なら、B_e(x) Ç B_e( y) Ì U_i となる iÎI が存在します。
　ゆえに Ω₁ º B_e(x) Ç B_e( y) , Ω₂ º Ω \ B_e(x) , Ω₃ º Ω \ B_e( y) と置いて、(10-7b) の積分域を Ω_i としたものを I_i と書けば、

(10-9a)  I1	£ ò Ui El(t, x ; r, z) Em(r, z ; s, y) drVz
	£ C (t - r)-n/2 (r - s)-n/2 òRn exp æ ç è - r | x - z |² ——— t - r ö ÷ ø exp æ ç è - r | z - y |² ——— r - s ö ÷ ø dz¹¼dzn        (  r = k' min { l, m }  )
	= C' (t - s)-n/2 exp æ ç è - r | x - y |² ——— t - s ö ÷ ø             ( ∵ (2-25) )
	£ C' En(t, x ; s, y)           (  n = r/k  )

(10-9b)  I2	£ ò Ω2 El(t, x ; r, z) Em(r, z ; s, y) drVz
	£ C (t - r)-n/2 exp æ ç è - l e² ——  t - r ö ÷ ø             ( ∵ (10-7a) )
	£ C' exp æ ç è - r ——  t - r ö ÷ ø             ( r < le² )
	£ C" En(t, x ; s, y)             (  C" = C' T n/2 ,  n = r / max { d(x, y)² | x, yÎΩ }  )

　対称的に、I₃ についても同じ評価が得られるので、(10-7b) は証明されました。

　なお、a, b > 0 に対し、r = (r - s)/(t - s) と変数変換することにより

(10-10)

ò

t   (t - r)a-1 (r - s)b-1 dr = (t - s)a+b-1 s

ò

1   (1 - r)a-1 rb-1 dr = Β(a, b) (t - s)a+b-1 = 0

Γ(a)Γ(b) ———— Γ(a + b)

(t - s)a+b-1

が成り立つことに注意しておきます。

　次に、一般に D º { (t, x ; s, y) | 0 < s < t < T ; x, yÎΩ } で定義された連続関数 Φ と実数 a に対して

(10-11a)  | Φ |a º

sup 0 < s < t < T ,  x, yÎΩ

(t - s)1-a | Φ(t, x ; s, y) |

(10-11b)  || Φ ||a º

sup 0 < s < t < T , xÎΩ

(t - s)1-a

òΩ

| Φ(t, x ; s, y) | dsVy

と置き、D で定義された可測関数 Φ と Ψ に対し、その畳み込み Φ * Ψ を

(10-12)  (Φ * Ψ )(t, x ; s, y) º

ò

t    dr s

òΩ

Φ(t, x ; r, z) Ψ(r, z ; s, y) drVz

で定義するとき、a, b > 0 に対して

(10-13)  |Φ * Ψ |a+b £

Γ(a)Γ(b) ———— Γ(a + b)

||Φ ||a |Ψ |b

が成り立ちます。実際、

(10-14)  | (Φ * Ψ )(t, x ; s, y) | £ | Ψ |b

ò

t   (r - s)b-1 dr s

òΩ

| Φ(t, x ; r, z) | drVz £ | Ψ |b || Φ ||a

ò

t   (t - r)a-1 (r - s)b-1 dr s

ですから、(10-10) により (10-13) が得られます。

　さて、(7-18),(9-12) により、ある正定数 C , l > 0 が存在して

(10-15a)  | H | £ C El(t, x ; s, y)

(10-15b)

½ ½ ½

¶H  —–  ¶xi

½ ½ ½

, | J | £ C (t - s)-1/2 El(t, x ; s, y)

(10-15c)

½ ½ ½

¶²H  ——–  ¶xi¶x j

½ ½ ½

,

½ ½ ½

¶H —–  ¶t

½ ½ ½

£ C (t - s)-1 El(t, x ; s, y)

が成り立ちます。そこで自然数 k に対し、D 上の関数 J ^(k) を、順に

(10-16a)  J (1) = J

(10-16b)  J (k+1) = - J * J (k)

で定義するとき、ある定数 M, N > 0 と自然数 k に依存する定数 C_k , l_k > 0 が存在して、任意の自然数 k に対して

(10-17a)  | J (k)(t, x ; s, y) | £ Ck (t - s)k/2 -1 Elk(t, x ; s, y)

(10-17b)   | J (k) |(k-n)/2 £

N M k ———  Γ(k/2)

が成り立つことを帰納法で証明しましょう。

　まず (10-17a) ですが、k = 1 のときは、(10-15b) により明らかです。次に k まで正しいと仮定すると、(10-16b),(10-15b),(10-7b),(10-10) と帰納法の仮定により、正定数 C , C' , l_k+1 が存在して

(10-18)  | J (k+1)(t, x ; s, y) |	£ ò  t    dr s  òΩ | J(t, x ; r, z) | | J (k)(r, z ; s, y) | drVz
	£ C ò  t    dr s  òΩ (t - r)-1/2 El1(t, x ; r, z) (r - s)k/2 -1 Elk(r, z ; s, y) drVz
	£ C' ò  t   (t - r)-1/2 (r - s)k/2 -1 dr s  Elk+1(t, x ; s, y)
	£ C' B(1/2, k/2) (t - s)k/2 -1/2 Elk+1(t, x ; s, y)

となるので、C_k+1 º C' B(1/2, k/2) と置けば、(10-17a) で k を k + 1 に置き換えた式が成り立ち、帰納法が完成しました。

　さて、(10-17b) を証明するため、(10-11b),(10-15b),(10-7a) により

(10-19)  M º Γ(1/2) || J ||1/2 £ C

sup 0 < s < t < T , xÎΩ

òΩ

El(t, x ; s, y) dsVy < ¥

と置きます。一方、(10-17a) により、(10-17b) の左辺はすべて有限値ですから、有限個の k = 1, 2 ,¼, n + 1 に対して (10-17b) が成り立つように N を選ぶことができます。
　そこで、ある k > n に対して (10-17b) が成り立つと仮定して k + 1 でも成り立つことを証明しましょう。(10-16b) と (10-13) により

(10-20)  | J (k+1) |(k+1-n)/2 £

Γ(k/2)Γ(1/2) ————— Γ((k+1)/2)

|| J ||1/2 | J (k) |(k-n)/2 £

Γ(k/2) ————— Γ((k+1)/2)

M N

M k ———  Γ(k/2)

=

N M k+1 ————–  Γ((k+1)/2)

となって (10-17b) は k + 1 のときにも成り立つことがわかり、帰納法が完成しました。

　さて、一般に

(10-21)

¥ å k=1

Mk ——–  Γ(k/2)

=

M —– Öp

+

¥ å i=1

M 2i ———–  Γ((2i)/2)

+

¥ å i=1

M 2i+1 —————  Γ((2i + 1)/2)

£

M —– Öp

+ R²

¥ å  j=0

M 2j —– j!

+ R³

¥ å  j=0

M 2j —– j!

はすべての正数 M について収束しますから、(10-17b) により、任意の l に対して

(10-22)

¥ å k=l

| J (k)(t, x ; s, y) | £ N

¥ å k=l

M k ———  Γ(k/2)

(t - s)(k-n)/2 -1 £ C'l (t - s)(l-n)/2 -1

は (10-11a) のノルムで収束して右辺の評価を持つので、

(10-23)  K(t, x ; s, y) º

¥ å k=1

J (k)(t, x ; s, y)

は同ノルムで収束して D 上の連続関数を定め、(10-17a) と (10-22) により、任意の自然数 m に対して

(10-24)  | K(t, x ; s, y) | £ Cm(t - s)-1/2 Elm(t, x ; s, y) + C'm(t - s)m

という評価を持ちます。また (10-13) により、畳み込み演算は、このノルムについて右側の変数に関して連続ですから、

(10-25)  K = J (1) +

¥ å k=1

J (k+1) = J -

¥ å k=1

(J * J (k)) = J - J *

¥ å k=1

J (k) = J - J * K

となります。ゆえに、(9-20) の J_r ( r = 1, 2 ) と同様に、K_r º K(t, x_r ; s, y) と書くと、

(10-26)  K1 - K2 = J1 - J2 - (J1 - J2) * K

が成り立ち、(9-20) と (7-18) により

(10-27)  | J1 - J2 | £ C Ö_________ d(x1 , x2 ) (t - s)-3/4 { El(t, x1 ; s, y) + El(t, x2 ; s, y) }

となるので、(10-27) と (10-24) と (10-7) により

(10-28)  | (J1 - J2) * K |	£ C Ö_________ d(x1 , x2 )   ò  t   (t - r)-3/4 dr s  òΩ { El(t, x1 ; r, z) + El(t, x2 ; r, z) } | K(r, z ; s, y) | drVz
	£ C' Ö_________ d(x1 , x2 )   2 å k=1 ò  t   (t - r)-3/4 dr s  òΩ El(t, xk ; r, z) { (r - s)-1/2 Em(r, z ; s, y) + (r - s)m } drVz
	£ C' Ö_________ d(x1 , x2 )   2 å k=1 ò  t   (t - r)-3/4 { (r - s)-1/2 En(t, xk ; s, y) + (r - s)m } dr s
	£ C" Ö_________ d(x1 , x2 )   ì í î (t - s)-1/4 2 å k=1 En(t, xk ; s, y) + (t - s)m + 1/4 ü ý þ

　よって (10-27),(10-28) を合わせると、(10-26) により、K についても (10-27) と類似の評価式：

(10-29)  | K1 - K2 | £ C Ö_________ d(x1 , x2 )

é ë

(t - s)-3/4 { El(t, x1 ; s, y) + El(t, x2 ; s, y) } + (t - s)m

ù û

が得られます。

　さて、D 上の関数 U を

(10-30)  U º H - H * K

で定義し、以下この U が求めるべき基本解であることを示し、その微分可能性等を検証します。

　s < t に対し、t º (s + t)/2 と置き、H * K を定義する積分を

(10-31)  (H * K )(t, x ; s, y) =

ò

t    dr s

òΩ

H(t, x ; r, z) K(r, z ; s, y) drVz +

ò

t    dr t

òΩ

H(t, x ; r, z) K(r, z ; s, y) drVz  º  u1 + u2

と分割します。
　まず u₁ については、t - r ³ t - t > 0 ですから (10-15) により、H はその x に関する２階以下、t に関する１階以下の微分とともに一様有界で、更に K は (10-24) により可積分ですから、| α | + 2k £ 2 のとき

(10-32)

¶k+α u1 ———  ¶tk¶xα

=

ò

t    dr s

òΩ

¶k+αH(t, x ; r, z) ——————– ¶tk¶xα

K(r, z ; s, y) drVz

が、従って特に

(10-33)  Lu1 =

ò

t    dr s

òΩ

J(t, x ; r, z) K(r, z ; s, y) drVz

が成り立ち、(10-15a)~(10-15c),(10-24),(10-7) により、| α | £ 2 ならば、評価式：

(10-34)	½ ½ ½	¶αu1 ——  ¶xα	½ ½ ½	£ ò  t    dr s  òΩ ½ ½ ½ ¶αH(t, x ; r, z) —————– ¶xα ½ ½ ½ | K(r, z ; s, y) | drVz
				£ C ò  t    dr s  òΩ (t - r)- |α|/2 El(t, x ; r, z) { (r - s)-1/2 Elm(r, z ; s, y) + (r - s)m } drVz
				£ C' ò  t   (t - r)- |α|/2 { (r - s)-1/2 Em(t, x ; s, y) + (r - s)m } dr s
				£ C" (t - t)- |α|/2{ (t - s)1/2 Em(t, x ; s, y) + (t - s)m+1 }
				£ C'" { (t - s)- |α|/2 + 1/2 Em(t, x ; s, y) + (t - s)m }

が得られます。次に u₂ について調べるために、s , y をパラメターとして  f_{s, y}(r, z) º K(r, z ; s, y) と置くとき、正数 C と l をうまく選んで

(10-35)  Λs, y(t, x) º C { (t - s)-1/2 El(t, x ; s, y) + (t - s)m }

と置くと、条件 (8-20),(8-27) が満たされることを確かめましょう。実際、(10-24) と s < t = (s + t)/2 £ r £ t により

(10-36a)  |  fs, y(r, x) |	= | K(r, x ; s, y) |
	£ Cm(r - s)-1/2 Elm(r, x ; s, y) + C'm(r - s)m
	£ C { (t - s)-1/2 El(t, x ; s, y) + (t - s)m }         (  l £ lm , C ³ max { 2n/2 + 1/2Cm , 2mC'm }  )
	= Λs, y(t, x)

　また (10-7),(10-10) により

(10-36b)	ò	t    dr t	òU	(t - r)-n/2 - a exp( - k"| ζ |² ) |  fs, y(r, z) | drVz           æ ç è   ζ =  x - z —–——–  2Öt - r   ; a = 1/2, 1  ö ÷ ø
				= ò  t    dr t  òU (t - r)-n/2 - a exp( - k"| ζ |² ) | K(r, z ; s, y) | drVz
				£ ò  t    dr t  òU (t - r)-a Ek"/(4k)(t, x ; r, z) { Cm (r - s)-1/2 Elm(r, z ; s, y) + C'm (r - s)m } drVz
				£ C' ò  t   (t - r)-a { (r - s)-1/2 Em(t, x ; s, y) + (r - s)m } dr t
				£ C" (t - s)-a +1/2 Em(t, x ; s, y) + C" (t - s)m+1-a
				£ (t - t)1-a{ C (t - s)-1/2 El(t, x ; s, y) + C (t - s)m }         (  l £ m , C ³ 21-a C"  )
				= (t - t)1-aΛs, y(t, x)

　また (10-29),(10-7),(10-10) により

(10-36c)	ò	t    dr t	òU	(t - r)-n/2 -1 exp( - k"| ζ |² ) |  f(r, z) - f(r, x) | drVz
				= ò  t    dr t  òU (t - r)-n/2 - 1 exp( - k"| ζ |² ) | K(r, z ; s, y) - K(r, x ; s, y) | drVz
				£ C' ò  t    dr t  òU (t - r)-n/2 - 1 exp( - k"| ζ |² ) Ö______ d(z, x) [ (r - s)-3/4 { En(r, z ; s, y) + En(r, x ; s, y) } + (r - s)m ] drVz
				£ C' ò  t    dr t  òU (t - r)-n/2 -1/2 | ζ | exp( - k"| ζ |² ) [ (r - s)-3/4 { En(r, z ; s, y) + En(r, x ; s, y) } + (r - s)m ] drVz
				£ C" ò  t    dr t  òU (t - r)-n/2 -1/2 exp( - k'"| ζ |² ) [ (r - s)-3/4 { En(r, z ; s, y) + En(r, x ; s, y) } + (r - s)m ] drVz
				£ C'" ò  t    dr t  òU (t - r)-1/2 Em(t, x ; r, z) [ (r - s)-3/4 { En(r, z ; s, y) + En(t, x ; s, y) } + (r - s)m ] drVz
				£ C''" ò  t   (t - r)-1/2 [ (r - s)-3/4 { Er(t, x ; s, y) + En(t, x ; s, y) } + (r - s)m ] dr t
				£ C'''" { (t - s)-1/4 El(t, x ; s, y) + (t - s)m +1/2 }
				£ Λs, y(t, x)

　ゆえに (8-44) により、| α | £ 2 に対して

(10-37)

¶αu2 ——  ¶xα

=

ò

t    dr t

òΩ

¶αH(t, x ; r, z) —————– ¶xα

K(r, z ; s, y) drVz = O( (t - t)1 - |α|/2Λs, y(t, x) ) = O( (t - s)1 - |α|/2Λs, y(t, x) )

　また、(9-19) により、u₂ は t に関する１階微分が連続で、

(10-38)  Lu2(t, x) =

å iÎI

ò

t    dr t

ò

Ui

Ji(t, x ; r, z) K(r, z ; s, y) drVz +

å iÎI

hi(x)² K(t, x ; s, y) =

ò

t    dr t

òΩ

J(t, x ; r, z) K(r, z ; s, y) drVz + K(t, x ; s, y)

ですから、(10-33),(10-38),(10-23),(10-16) により

(10-39)  Lt, x(H * K) = J * K + K = J *

¥ å k=1

J (k) + K = -

¥ å k=1

J (k+1) +

¥ å k=1

J (k) = J (1) = J = Lt, xH

　ゆえに (10-30) により、U(t, x ; s, y) は、s < t , xÎΩ において、t に関する１階以下又は x について２階以下の微分が連続で、斉次の方程式：

(10-40)  Lt, xU(t, x ; s, y) = 0

を満たし、また (10-15a)~(10-15c),(10-34),(10-37) により、任意の自然数 m に対して次の評価式：

(10-41a)

½ ½ ½

¶αU ——   ¶xα

½ ½ ½

£ Cm { (t - s)- |α|/2 Emm(t, x ; s, y) + (t - s)m }

を満たすことがわかり、更に (10-40),(10-41a) により

(10-41b)

½ ½ ½

¶U —–  ¶t

½ ½ ½

= | At, xu | £ C'm { (t - s)-1 Emm(t, x ; s, y) + (t - s)m }

が成り立つこともわかります。また、(10-32),(10-37),(10-3) により、

(10-42)  Bt, x(H * K) =

ò

t    dr s

òΩ

Bt, xH(t, x ; r, z) K(r, z ; s, y) drVz = 0

ですから、これと (10-3) と (10-30) により、U は、斉次の境界条件：

(10-43)  Bt, xU(t, x ; s, y) = 0

を満たすことがわかります。

　また、(t, x) Î ]0, T [ ´ Ω と、{t} ´ Ω の近傍で有界な関数 u に対し、(10-15a),(10-24),(10-7) により

(10-44)	½ ½ ½	ò	t    dr s	òΩ	H(t, x ; r, z) drVz òΩ K(r, z ; s, y) u(s, y) dsVy ½ ½ ½
					£ ò  t    dr s  òΩ | u(s, y) | dsVy òΩ | H(t, x ; r, z) K(r, z ; s, y) | drVz
					£ C ò  t    dr s  òΩ | u(s, y) | dsVy òΩ El(t, x ; r, z) { (r - s)-1/2 Em(r, z ; s, y) + (r - s)m } drVz
					£ C' M ò  t    dr s  òΩ { (r - s)-1/2 En(t, x ; s, y) + (r - s)m } dsVy
					£ C'" M ò  t   (r - s)-1/2 dr s
					£ C" M (t - s)1/2

となり、これは s < t , s, t ® t のとき一様に 0 に収束します。
　よって、(10-30),(10-5),(10-44) により、(t, x) Î ]0, T [ ´ Ω と、{t} ´ Ω の近傍で連続な関数 u に対し、s < t かつ s, t ® t のとき、xÎΩ \ S₁ についてコンパクト集合上一様に

(10-45)

òΩ

U(t, x ; s, y) u(s, y) dsVy ® u(t, x)

が成り立ち、更にもし u が S₁ 上で 0 なら、xÎΩ に対して一様に (10-45) が成り立つことがわかります。

　本節で得られた (10-40),(10-43),(10-45) により、次節で U が放物型初期値境界値問題 (7-3) の唯一の基本解になっていることを証明します。