偏微分方程式

　1 £ p £ ¥ のとき、s < t と uÎL^p(Ω) に対し、Ω 上の関数 U_t^su を

(12-1)  Utsu(x) º

òΩ

U(t, x ; s, y) u( y) dsVy

で定義し、u に U_t^su を対応させる線形作用素 U_t^s を、方程式 (7-3) の解作用素といいます。(11-25) により、解作用素は L^p(Ω) からそれ自身への連続線型作用素で、s < t において一様に有界：

(12-2)  || Utsu ||Lp £ C || u ||Lp       ( s < t )

で、C は

(12-3)  || Uts ||p £ C = max

ì í î

òΩ

| U(t, x ; s, y) | dtVx ,

òΩ

| U(t, x ; s, y) | dsVy

ü ý þ

にとることができます。ただし左辺は L^p(Ω, d_sV) から L^p(Ω, d_tV) への作用素としての U_t^s の作用素ノルムです。
　また p = ¥ のときは、作用素ノルムについて

(12-4)  || Uts ||¥ =

òΩ

| U(t, x ; s, y) | dsVy

が成り立ちます。実際、（左辺）£（右辺）は明らかです。逆に、任意に選んで固定した x に対し、u( y) を、U(t, x ; s, y) = 0 のとき 0 、U(t, x ; s, y) ¹ 0 のとき U(t, x ; s, y)* / | U(t, x ; s, y) | と置けば、|| u ||_L^¥ = 1 で、

(12-5)  || Uts ||¥ ³

½ ½ ½

òΩ

U(t, x ; s, y) u( y) dsVy

½ ½ ½

=

òΩ

| U(t, x ; s, y) | dsVy

となるので、x の任意性により (12-4) の（左辺）³（右辺）が得られ、(12-4) は証明されました。

　さて、u が連続で、S₁ 上で 0 となるならば、U_s^su º u と置くと、(10-45) により U_t^su は Ω で一様に

(12-6)  Utsu  ®  u       ( t ¯ s )

となり、t ³ s で連続になります。一般の uÎL^p(Ω) ( 1 £ p < ¥ )に対しては、任意の e > 0 に対し、滑らかで台が Ω に含まれる v で

(12-7)  || u - v ||Lp £ e

となるものが存在します。一方、(12-2) により

(12-8)  || Utsu - Utsv ||Lp £ C || u - v ||Lp £ Ce

　ゆえに (12-6) を v に対して適用することにより、t - s < d  Þ  || U_t^sv - v ||_L^p £ e となる d > 0 が取れるので、t - s < d のとき、

(12-9)  || Utsu - u ||Lp £ || Utsu - Utsv ||Lp + || Utsv - v ||Lp + || v - u ||Lp £ Ce + e + e

となりますから、これは、任意の uÎL^p(Ω) に対して L^p(Ω) の位相で (12-6) が成り立つことを意味しています。また、(11-32) により

(12-10)  Utr Urs = Uts       ( s < r < t )

が成り立ちます。また、| α | + 2k £ 2 のとき、(10-41),(10-6) により

(12-11)

½ ½ ½

¶k¶αUtsu(x) —————  ¶tk¶xα

½ ½ ½

£ C

òΩ

{ (t - s)-k-|α|/2 El(t, x ; s, y) + 1 } | u( y) | dsVy £ C' (t - s)-n/2-k-|α|/2 || u ||L¹

という評価式が得られます。また (10-7a) により、この積分核に対して (11-23) が成り立つので (11-25) により

(12-12)

|| || || || ||

¶k¶αUtsu ————  ¶tk¶xα

|| || || || ||

Lp

£ C (t - s)-k-|α|/2 || u ||Lp

が成り立ちます。

　さて、(12-11) により、s < t のとき U_t^s は L¹(Ω) から C²(Ω) への連続写像ですから、Ascoli-Arzelà により、特に L¹(Ω) から C¹(Ω) へのコンパクト作用素であることがわかります。
　一方、C¹(Ω) ® C(Ω) ® L^p(Ω) ® L¹(Ω) の各埋め込みはいずれも連続ですから、X が C¹(Ω) , C(Ω) , L^p(Ω) のいずれであっても、U_t^s は X からそれ自身へのコンパクト作用素であることがわかります。

　さて (10-40) により、s < r < t なら

(12-13)  Utsu - Ursu	= òΩ { U(t, · ; s, y) - U(r, · ; s, y) }u( y) dsVy
	= ò  t    dt r  òΩ ¶U(t, · ; s, y) —————–  ¶t u( y) dsVy
	= ò  t    dt r  òΩ AtU(t, · ; s, y) u( y) dsVy
	= ò  t     dt At r òΩ U(t, · ; s, y) u( y) dsVy
	= ò  t    AtUtsu dt r

　ここで r を t に、t を t + h と書き換えると、0 < d < t - s のとき A_tU(t, · ; s, y) は (t, x, y)Î[t - d, t + d] ´ Ω ´ Ω で一様連続ですから、| h | £ d なら

(12-14)	|| || || || ||	Ut+hsu - Utsu ——————  h	- AtUtsu	|| || || || ||	C(Ω)	£ 1 —–  h ò  t+h    dt t  òΩ || AtU(t, · ; s, y) - AtU(t, · ; s, y) ||C(Ω) | u( y) | dsVy
						£   sup |t-t| £ d , yÎΩ || AtU(t, · ; s, y) - AtU(t, · ; s, y) ||C(Ω) || u ||L¹(Ω)

　ゆえに、L¹(Ω) から C(Ω) への演算子ノルムに対し、d ® 0 のとき

(12-15)

|| || || || ||

Ut+hs - Uts —————  h

- AtUts

|| || || || ||

£

sup |t-t| £ d , yÎΩ

|| AtU(t, · ; s, y) - AtU(t, · ; s, y) ||C(Ω)  ® 0

すなわち s < t のとき U_t^s は t に関して L¹(Ω) から C(Ω) への作用素ノルムに対して（従って X を C¹(Ω) , C(Ω) , L^p(Ω) のいずれかとするとき X からそれ自身への作用素ノルムとしても）微分可能で

(12-16)

dUts ——  dt

= AtUts

が成り立つことがわかります。ゆえに (12-12) により L^p(Ω) からそれ自身への作用素ノルムについて

(12-17)

|| || || ||

dUts ——  dt

|| || || ||

p

= || AtUts ||p £

C ——  t - s

が成り立つことがわかります。

　さて、以下微分演算子 A と B が t によならい場合を考えることにします。このとき、任意の t ³ - t に対して L_t-t = L_t , B_t-t = B_t ですから、(7-37) を満たす uÎF (s, t ; Ω) に対して u_t(t, x) º u(t - t, x) と置けば、t ³ - s のとき u_t は

(12-18a)  But = 0       on  ] s + t, t + t [ ´ ¶Ω

(12-18b)  ut(s + t, · ) = 0       in  Ω

(12-18c)  Lut = (Lu)t       on  ] s + t, t + t [ ´ Ω

を満たすので、基本解 U は、その定義 (7-38) で s と t をそれぞれ s + t と t + t に置き換えた式により

(12-19)

ò

t + t      dr s + t

òΩ

U(t + t, x ; r, y) Lut(r, y) drVy = ut(t + t, x)

を満たしますが、(12-18c) により、(12-19) の左辺は

(12-20)

ò

t + t      dr s + t

òΩ

U(t + t, x ; r, y) (Lu)t(r, y) drVy =

ò

t + t      dr s + t

òΩ

U(t + t, x ; r, y) Lu(r - t, y) drVy =

ò

t    dr s

òΩ

U(t + t, x ; r + t, y) Lu(r, y) drVy

と変形され、(12-19) の右辺は u(t, x) ですから、(7-38) と比較すれば、基本解の一意性により

(12-21)  U(t + t, x ; s + t, y) = U(t, x ; s, y)

が成り立ちます。ゆえに t = - s と置き、U(r, x ; 0, y) を U(r ; x, y) と書くことにすれば、

(12-22)  U(t, x ; s, y) = U(t - s ; x, y)

が成り立ちます。そこで t ³ 0 に対して U_t º U_t⁰ と置けば、(12-22) により

(12-23)  Uts = Ut-s

が成り立つので、(12-10) は

(12-24)  Us+t = UsUt       ( s, t > 0 )

が成り立ち、(12-6) から、C¹(Ω) , C(Ω) , L^p(Ω) のいずれにおいても

(12-25)  Ut u  ®  u       ( t ¯ 0 )

が成り立ちます。 U_t^s は t に関して L¹(Ω) から C(Ω) への作用素ノルムに対して（従って X を C¹(Ω) , C(Ω) , L^p(Ω) のいずれかとするとき X からそれ自身への作用素ノルムとしても）微分可能で

(12-26)

dUt ——  dt

= AtUt

が成り立ち、L^p(Ω) からそれ自身への作用素ノルムについて、0 < t £ T のとき

(12-27)

|| || || ||

dUt ——  dt

|| || || ||

p

= || AtUt ||p £

C —–  t

が成り立つことがわかります。これは { U_t | t > 0 } が解析半群になることを意味しています。

　さて、微分演算子 A は、Ω の超関数に超関数を対応させる線形作用素として連続ですから、その位相でグラフは閉集合です。ゆえに X を C¹(Ω) , C(Ω) , L^p(Ω) のいずれかとするとき、A のグラフを X ´ X に制限したものは、その位相で閉集合です。以下、A はこのように考えた場合の X 上の閉作用素とみなすことにします。これは、Ω にコンパクトな台を持つ滑らかな関数のみを定義域とする A の作用素としての閉包に他なりません。

　ところで (12-13) で s = 0 と置いたものは、A = A_t が t に依存しないので積分の外に出せて

(12-28)  Ut u - Ur u = A

ò

t    Ut u dt r

　ここで r ¯ 0 とすると、(12-25) により

(12-29a)  Ut u - Ur u  ®  Ut u - u

(12-29b)

ò

t    Ut u dt  ®  r

ò

t    Ut u dt 0

となりますが、A が閉作用素であることから、(12-29b) の右辺は A の定義域に属し、

(12-30)  Ut u - u = A

ò

t    Ut u dt 0

となります。ゆえに

(12-31)

Ut u - u ———–  t

= A

æ ç è

1 —  t

ò

t    Ut u dt 0

ö ÷ ø

となりますが、

(12-32)

1 —  t

ò

t    Ut u dt  ®  u       ( t ¯ 0 ) 0

ですから、u が U_t の生成作用素の定義域に属せば (12-31) の左辺は t ¯ 0 のとき収束し、A が閉作用素であることから、u は A の定義域に属し、

(12-33)

lim t ¯ 0

Ut u - u ———–  t

= Au

となります。
　逆に Ω にコンパクトな台を持つ滑らかな任意の u に対し、t = 0 の近傍で恒等的に 1 となり、[ 0, T [ にコンパクトな台を持つ滑らかな実数値関数 c を用いて

(12-34)  v(t, x) º c(t) u(x) -

ò

t    dr 0

òΩ

U(t, x ; r, y) Lr, y{c(r) u( y)} drVy

と置くと、(11-2),(11-3) により、v は

(12-35a)  Lv = 0       in  ] 0, T [ ´ Ω

(12-35b)  Bv = 0       on  ] 0, T [ ´ ¶Ω

(12-35c)  v(0, · ) = u       in  Ω

を満たしますから、解の一意性により

(12-36)  v(t, · ) = Ut u

が成り立ちます。ゆえに t が十分 0 に近ければ、c(t) = 1 ですから、(12-34),(12-36) により

(12-37)

Ut u - u ———–  t

= -

1 —  t

ò

t    dr 0

òΩ

U(t, x ; r, y) Lr, y{c(r) u( y)} drVy =

1 —  t

ò

t    dr 0

òΩ

U(t, x ; r, y) Au( y) drVy =

1 —  t

ò

t    Ut-r Au dr 0

となりますが、t ¯ 0 とすれば右辺は Au に収束するので、u は { U_t | t > 0 } の生成作用素の定義域に属すことがわかります。
　以上により、A は解析半群 { U_t | t > 0 } の生成作用素になっていることが証明されました。