相対性理論

　４次元Riemann多様体 M（「微分多様体」第19節参照 ）の各点 s に対し、M の計量 g が、L 上で正定値、L の直交補空間 L^{^} 上で負定値であるような１次元部分空間 L Ì T_sM が存在するとき、M を時空といいます。ただし T_sM は s における M の接空間（「微分多様体」第１節 (1-6) 参照 ）です。

　M の任意の相対コンパクトで向きのついた領域 Ω において、いくつかの積分を考えます。まず

(G)  Sg(Ω) = -

1 ——  2kc

òΩ

R dW

と置いて、Einstein-Hilbert作用といいます。ここで R は時空のスカラー曲率（「微分多様体」第23節 (23-48) 参照 ）、k と c は、それぞれEinsteinの重力定数、光速度とよばれる定数、dW は計量 g に伴う M の(４次元)体積要素（「微分多様体」第19節 (19-34) 参照 ）です。スカラー曲率は計量 g のみの汎関数ですから、S_g(Ω) は g のみの汎関数になります。

　次に、

(C)  Sc(Ω) = -

l —– kc

òΩ

dW

という積分を考え、これを宇宙の作用とよびます。l は宇宙定数と呼ばれる定数です。S_c(Ω) も g だけの汎関数です。

　次に、時空上に１形式 aを考え、これを電磁ポテンシャルと呼びます。電磁ポテンシャルの外微分 da（「微分多様体」第７節参照 ）を電磁場といいます。電磁場とその共役微分形式 *da（「微分多様体」第24節 (1-6) 参照 ）から da ^ *da という量を作れば、これは４形式ですから、時空での積分：

(E)  Se(Ω) =

1 —— 2mc

òΩ

da ^ *da

を考えることができます。これを電磁場の作用とよびます。m は真空の透磁率と呼ばれる定数です。S_e(Ω) は電磁ポテンシャル a の汎関数であることはもちろんですが、共役演算を通じて計量 g の汎関数にもなっています。

　次に、

(P)  Sp(Ω) = - c

òΩ

ho dΩ

と置いて、これを粒子の作用といいます。h_o は固有質量密度と呼ばれ、個々の粒子 i の固有質量密度 h_oi とよばれるスカラーにより、

(M)  ho = åi hoi

で定義され、粒子 i の固有比速度 u_i とよばれる“長さ”が 1 の４元ベクトル：

(U)  ui · ui º g(ui , ui) = 1

との間に連続の式：

(MC)  Div(hoiui) = 0

が成り立っているものとします。ここで Div は時空の計量に伴う４次元の発散（「微分多様体」第20節 (20-2) 参照 ）、“ · ”はその計量に伴う内積（「微分多様体」第19節 (19-9) 参照 ）を表わします。
　S_p(Ω) は、各 h_oi と計量 g の汎関数ですが、h_oi は、条件 (MC) を通じて各 u_i と関係があるほか、u_i 自身が (U) を通じて g とも関係しています。

　最後に、

(I)  Si(Ω) =

òΩ

a( j) dW

と置いて、これを粒子と電磁場の相互作用といいます。ここで、 j は固有電流密度とよばれ、粒子 i の固有電荷密度 r_oi と固有比速度 u_i から

(J)  j = åi roiui

で定義され、連続の式：

(JC)  Div(roiui) = 0

を満たしているものとします。
　S_p(Ω) は、各 r_oi ，u_i と電磁ポテンシャル a 、それに計量 g の汎関数ですが、r_oi は、条件 (JC) を通じて各 u_i と関係があります。

　以上で５つの作用積分を定義したわけですが、これらの和をとり、

(A)  S(Ω) = Sg(Ω) + Sc(Ω) + Se(Ω) + Sp(Ω) + Si(Ω)

と置いて、これを一般相対性理論の作用といい、以下単に作用とよびます。
　作用は g , a , u_i ，h_oi , r_oi の汎関数ですが、これらを (U),(MC),(JC) を満たすように変化させるという条件のもとで Ω の内部で任意に変化させたとき、作用が停留値をとる、すなわち

(D)  d S(Ω) = 0

が成り立つことを要請し（最小作用の原理）、この原理から導かれる理論を一般相対性理論といいます。