相対性理論

　まず最初に時空 M の接空間 V º T_sM の性質について考察します。V の元を計量 g に代入したものを“ · ”で表わすことにします：

(1-1)  u · v = gs(u, v)

　さて、

(1-2)  u · u = 1

を満たす uÎV を固有比速度といい、これに光速度を乗じた cu を固有速度といいます。また u の張る１次元空間 I_u を u に対する時間軸とよぶことにし、u の直交補空間：

(1-3)  Su = { vÎV | u · v = 0 }

を、u-空間とよぶことにします。さて、V の任意の元 v は

(1-4)  v = vou + v(3)     ( voÎR ，v(3)ÎSu )

と一意的に書けます。実際、(1-4) のように書ければ、u との内積をとって

(1-5)  u · v = vo u · u + u · v(3) = vo

(1-6)  v(3) = v - vou

となるので一意性が成り立ちます。また逆に、v^o と v⁽³⁾ を (1-5),(1-6) によって定義すれば、

(1-7)  u · v(3) = u · v - vo u · u = 0

となるので v⁽³⁾ÎS_u がわかり、(1-4) の分解の存在も示されました。

　さて時空の定義により、固有比速度 uÎV で、g_s が S_u 上で負定値であるようなものが存在します。そこで AÎS_u に対して

(1-8)  A² º - A · A ³ 0

と書き、A² の正の平方根 A を A の大きさということにします。さて、任意の v, wÎV に対して

(1-9)  v · w = (vou + v(3)) · (wou + w(3)) = vowo u · u + v(3) · w(3) = vo wo + v(3) · w(3)

が成り立ちます。ただし u · w⁽³⁾ = v⁽³⁾ · u = 0 を使いました。特に v も固有比速度なら、

(1-10)  1 = v · v = (vo)² - (v(3))²

　ここで

(1-11)  g = u · v = vo

と置きます。(1-10) により v_o = g ¹ 0 ですから

(1-12)  β =

v(3) —— vo

と置くことができますが、この β を u から見た v の比速度とよび、これに光速度を乗じた v º cβ のことを速度といいます。(1-10) の両辺を g² で割れば、

(1-13)  g -2 = 1 - β² = 1 -

v² —– c²

> 0

が成り立ちます。この式から特に、比速度の大きさは 1 未満、速度の大きさは光速度未満であることがわかります。

　以上の結論は、特定の固有比速度 u だけでなく、任意の固有比速度 v に対しても成り立つことを示すことができます。
　まず、v-空間 S_v で g_s が負定値であることを証明します。もし負定値でないとすると、ある 0 でない wÎS_v が存在して

(1-14)  w · w ³ 0

となります。v と w は１次独立ですから v と w の張る V の部分空間 L は２次元空間です。また、任意の実数 a, b に対し、

(1-15)  (av + bw) · (av + bw) = a² v · v + 2ab v · w + b² w · w = a² v · v + b² w · w ³ 0

ですから、g_s は L 上で非負です。ところが g_s は S_u 上負定値ですから、L と S_u は 0 以外に共通元を持ちません。
　ところが L は２次元、S_u は１次元空間の直交補空間として３次元、V は４次元ですから L と S_u は 0 でない共通元を持たなければならず、これは上記の結論と矛盾します。よって S_v 上 g_s が負定値であることが証明されました。
　以上により、S_v に属すベクトルの S_v における大きさや、v から見た固有比速度の比速度を定義することができ、その大きさはやはり 1 未満となることがわかります。

　さて、

(1-16)  VO = {vÎV | v · v = 0 }

(1-17)  VT = {vÎV | v · v > 0 }

(1-18)  VS = {vÎV | v · v < 0 }

と置いて、V_O を光錐、V_T の元を時間的ベクトル、V_S の元を空間的ベクトルとよびます。固有比速度は時間的ベクトルであり、逆に時間的ベクトルは、ある固有比速度の定数倍になっています。また、上で示したとおり、V_T のある元に直交する 0 でないベクトルは V_S に属します。
　さて、２つの固有比速度 u, v については (1-10),(1-11) により g = u · v ¹ 0 ですから、固有比速度の定数倍である V_T の元に対しても

(1-19)  u · v ¹ 0       ( u, vÎVT )

が成り立ちます。このことから、V_T 上の関係 u · v > 0 は、V_T 上の同値関係になる、すなわち

(1-20)  u, v, wÎVT ，u · v > 0 ，v · w > 0   Þ   u · w > 0

が成り立つことが証明できます。実際、もし u · w £ 0 となったとすると、u · v - u · w ³ u · v > 0 ですから

(1-21)  l =

u · v —————  u · v - u · w

と置くと、0 < l £ 1 および

(1-22)  u · {lw + (1 - l)v} = 0

が成り立ちます。一方、

(1-23)  {lw + (1 - l)v} · {lw + (1 - l)v} = l²w · w + 2l(1 - l)v · w + (1 - l)²v · v > 0

ですから、これは

(1-24)  lw + (1 - l)vÎVT

を意味するので、(1-22),(1-24) は (1-19) と矛盾します。これで (1-20) は証明されました。
　以上により、V_T は２つの同値類に分かれることがわかります。そこで、一方を未来錐とよんで V_T⁺ で表わし、他方を過去錐とよんで V_T^- と書くことにします。

　次にLorentz座標について解説します。

　固有比速度 u と、３個の互いに直交する大きさ 1 のベクトル e_iÎS_u ( i=1, 2, 3 ) の組を、u を静止系とする V の直交基底 といい、任意の ξÎV に対し、この直交基底による表示：

(1-25)  ξ = x0u + x¹e1 + x²e2 + x³e3

の成分からなる R⁴ の数ベクトル (x⁰, x¹, x², x³ ) を、u を静止系とする ξ のLorentz座標と言います。(1-25) と直交性から

(1-26)  ξ · η = x0h0 - ( x¹h¹ + x²h² + x³h³ )

が成り立ちます。また、あるLorentz座標から別のLorentz座標への座標変換をLorentz変換とよびます。定義から明らかに、Lorentz変換は正則な線形変換であり、その全体は合成演算に対して群をなします。そこでこの群をLorentz変換群とよびます。

　ここで「電磁気学」第34節 (34-6) の結果において、c を 1 に、v を β にそれぞれ置き換えることにより、４次の正方行列 Λ がLorentz変換であるための必要十分条件は、

(1-27)  G = Λ†GΛ

を満たすことであることがわかります。ただし G は

(1-28)  G =	æ ç ç è	1		0		0		0		ö ÷ ÷ ø
		0		-1		0		0
		0		0		-1		0
		0		0		0		-1

で定義される４次の正方行列です。そして同節 (34-30)〜(34-35) により、Lorentz変換 Λ の一般形は、長さが１未満の３次元列ベクトル β の方向へのLorentz変換

(1-29)  Λβ º	æ ç è	g	gβ†	ö ÷ ø
		gβ	Γβ

と、３次の直交行列 Y による空間部分のみを回転させるLorentz変換

(1-30)  Y(4) º	æ è	1	0†	ö ø
		0	Y

により、

(1-31)  Λ = ΛβY(4) =	æ ç è	g	gβ†Y	ö ÷ ø
		gβ	ΓβY

と書けます。ただし g は β から (1-13) により定義され、Γ_β は

(1-32)  Γβξ = gξ// + ξ^       ( ξ = ξ// + ξ^ ，ξ// // β ，ξ^ ^ β )

すなわち β の方向に g 倍に引き伸ばす１次変換の行列です。ここで

(1-33)  e º

æ ç ç è

1 0 0 0

ö ÷ ÷ ø

(1-34)  e' º	æ è	g	ö ø
		gβ

と置けば

(1-35)  e' = Λe

となりますが、e と e' が、同じ４元ベクトルのそれぞれ v ，u を静止系とするLorentz座標であるとすれば、

(1-36)  v = gu + gb¹e1 + gb²e2 + gb³e3

ですから、b¹e₁ + b²e₂ + b³e₃ は u から見た v の比速度に他なりません。言い換えると、β は、u を静止系とするLorentz座標で見た、v を静止系とするLorentz座標の移動比速度です(このことを略して、β は、u から見た v の比速度である、ということにします)。
　特に、Λ = Λ_β の場合は、「電磁気学」第34節 (34-36) により Λ^-1 = Λ_{- β} ですから、u から見た v の比速度は - β となります。このようなLorentz変換を、対称なLorentz変換とよぶことにしましょう。

　この節の最後に速度の合成則を導いておきましょう。u から見た v の比速度を β 、v から見た w の比速度を β' とするとき、u から見た w の比速度 β" を β と β' で表わしてみましょう。ただし、いずれのLorentz変換も、対称なLorentz変換を選んでおくものとします。
　w を静止系とするLorentz座標を u を静止系とするLorentz座標に変換するLorentz変換(以下 w®u-変換と略記)は、w®v-変換と v®u-変換の積で表わされますから、

(1-37)  ΛβΛβ' =

æ ç è

g

gβ†

ö ÷ ø

æ ç è

g'

g' β'†

ö ÷ ø

=

æ ç è

gg'(1+β·β')

gg' β' †+gβ†Γβ'

ö ÷ ø

gβ

Γβ

g' β'

Γβ'

gg' β+g'Γββ'

gg' ββ' †+ΓβΓβ'

となります。ただし β·β' は３次元の数ベクトル β ，β' の内積を表わします。ここで、この右辺を (1-31) と比較すれば、β" は、右辺の行列の左下成分を左上成分で除したもので与えられることがわかりますから、

(1-38)  β" =

gg' β + g'Γββ' —————— gg'(1 + β · β')

=

β + g-1Γββ' ————— 1 + β · β'

という比速度の加法公式が得られます。特に β と β' が平行な場合は

(1-39)  Γββ' = gβ'

ですから、(1-38) は β と β' について対称な式：

(1-40)  β" =

β + β' ———— 1 + β · β'

になりますが、一般の場合は β と β' について必ずしも対称にならないのが相対論の特徴です。(1-40) を比速度でなく速度で表せば、

(1-41)  v" =

v + v' ————— 1 + v · v'/c²

となります。