相対性理論

　本節では、各粒子 i に対する固有比速度の場 u_i 、固有質量密度 h_oi 、固有電荷密度 r_oi を、第０節の (U),(MC),(JC) を満たすように任意に変化させ、作用積分 S(Ω) が停留値をとるための条件を求めてみましょう。
　作用積分に第 i 粒子の u_i 、h_oi 、r_oi が含まれているのは S_p(Ω) ，S_i(Ω) だけですから、そこから第 i 粒子に関係する部分のみを抜き出したものを S⁽ⁱ⁾(Ω) と書くと、(M) と (J) により、

(2-1)  S(i)(Ω) =

òΩ

{a(roiui) - choi} dΩ

となります。ここで、第０節 (U) により、

(2-2)  hoi = hoiui · ui = (ui · ds)(ui)hoi       ( ds は４次元の線素 )

ですから、(2-1) は、

(2-3)  S(i)(Ω) =

òΩ

{a(ui)roi - c(ui · ds)(ui)hoi} dΩ

と書くことができます。第０節の (MC),(JC) により、これは「微分多様体」第26節 (26-53) の形をしており、また第２項についても、同節 (26-22) により、同節 (26-3) の条件が満たされています。ゆえに同節 (26-54) により、最小作用の原理から

(2-4)  roiiuida - choiiuid(ui · ds) = 0

という式が導かれることがわかります。一方、「微分多様体」第26節 (26-25) により

(2-5)  iuid(ui · ds) = Ñuiui · ds

ですから、(2-4) は

(2-6)  roiiuida = choiÑuiui · ds

と変形されます。そこで

(2-7)  κi º croiiuida/ds

とおいて（「微分多様体」第19節 (19-24) 直後の注参照）、これを第 i 粒子に働く固有電磁力密度とよべば、(2-6) は

(2-8)  c²hoiÑuiui = κi

と書くことができます。これを荷電粒子に対する一般相対論的運動方程式といいます。(2-7) により、κ_i は、

(2-9)  κi · ui = (κi · ds)(ui) = (croiiuida)(ui) = croi(da)(ui , ui) = 0

を満たします。

　次に、(2-7),(2-8) を局所座標によって成分表示してみましょう。以下 ¶/¶xⁿ を ¶_n と略記することにし、

(2-10)  Fmn º (da)(¶m , ¶n) = d(aldxl)(¶m , ¶n) = (¶kaldxk ^ dxl)(¶m , ¶n) = ¶man - ¶nam = ¶man - Γlmnal - ¶nam + Γlnmal = an;m - am;n

と置けば、(2-7) は、¶_n との内積をとると右辺が cr_oida(u_i , ¶_n) となるので

(2-11)  kin = croiFmn uim

と成分表示され、(2-8) は、

(2-12)  c²hoiuim uin;m = kin

と成分表示されます。

　さて、パラメター t に対する常微分方程式：

(2-13)

dsi —— dt

= cui

の解 s_i を質点の世界線といい、パラメター t をこの世界線の固有時といいます。(2-13) を局所座標の成分で表わし、s_i の第m成分を x_i^m と書けば、

(2-14)

dxim ——  dt

= cuim

ですから、(2-11) は

(2-15)  kin = roiFmn

dxim ——  dt

となります。また、共変微分の成分表示（「微分多様体」第21節 (21-40) 参照）により、

(2-16)  uin;m = ¶muin + Γnml uil

ですから、(2-14),(2-16) を (2-12) に代入すれば、

(2-17)  kin = choi

dxim ——  dt

( ¶muin + Γnml uil ) = choi

æ è

duin ——  dt

+ Γnml

dxim ——  dt

uil

ö ø

= hoi

æ è

d²xin ——–  dt²

+ Γnml

dxim ——  dt

dxil ——  dt

ö ø

と書くことができます。したがって、特に電磁場が存在しない場合、世界線は測地線を描きます。

　さて、４次元時空の３次元面素を dS⁽⁴⁾ で表すと、第０節 (MC),(JC) 及び「微分多様体」第20節 (20-2) により、h_oiu_i · dS⁽⁴⁾ と r_oiu_i · dS⁽⁴⁾ は、外微分が 0 ですから、「微分多様体」第15節 (15-14) により、これらの３次元超曲面上での積分値は超曲面の取り方に依存しません。そこで前者の積分値を第 i 粒子の質量、後者の積分値を第 i 粒子の電荷といい、それぞれ m_i ，q_i で表します。
　さて、r_oi と h_oi が、c_iu_i · dS⁽⁴⁾ の３次元超曲面上での積分値が 1 であるような共通のスカラー場 c_i によって

(2-18)  roi = qici

(2-19)  hoi = mici

と書ける場合を考えると、(2-6) は

(2-20)  qiiuida = cmiÑuiui · ds

と書けますから、

(2-21)  Ki º cqiiuida/ds

とおいて、これを第i粒子の各点に働く固有電磁力とよべば、(2-9) と同様に

(2-22)  Ki · ui = 0

が成り立ち、また (2-20) は、

(2-23)  c²miÑuiui = Ki

と書けます。(2-21) の成分表示は (2-11) に対応して

(2-24)  Kin = cqiFmn uim

となり、(2-23) の成分表示は (2-12) に対応して

(2-25)  c²miuim uin;m = Kin

となりますが、これらを世界線の方程式として表わせば、(2-15),(2-17) に対応して

(2-26)  Kin = qiFmn

dxim ——  dt

(2-27)  mi

æ è

d²xin ——–  dt²

+ Γnml

dxim ——  dt

dxil ——  dt

ö ø

= Kin

となります。

　最後に、局所座標の第0成分が

(2-28)

dxi0 ——  dt

> 0

を満たす場合を考えてみましょう。このとき、時間 t を

(2-29)  t =

xi0 ——  c

で定義すれば、t のかわりに t を世界線のパラメターに用いることができます。以下、粒子の番号 i を固定し、i 以外のラテン文字の添字は 1~3 を表わすものとして、

(2-30)  gi º

dt —– dt

(2-31)  vij º

dxij ——  dt

と置けば、(2-14),(2-29)~(2-31) により、

(2-32a)  ui0 = gi

(2-32b)  uij º

givij ——–  c

がわかります。(2-32) と (2-9),(2-22) により、

(2-33)  ki0 =

kijvij ——–  c

(2-34)  Ki0 =

Kijvij ——–  c

が成り立ち、(2-29)~(2-31) により、(2-15) は

(2-35)  kij = roigiFmj

dxim ——  dt

= croigiF0j + roigiFkjvik

となります。そこで、

(2-36)  g º det gx < 0

と置き、f_j ，r_i ，J_i^k ，E_j ，B^l を

(2-37)  fj º - kij  ___ Ö- g

(2-38a)  ri º roigi  ___ Ö- g

(2-38b)  Jik º rivik = roigivik   ___ Ö- g

(2-39a)  Fj0 = - F0j º

Ej —–  c

(2-39b)  Fjk = - Fkj º ejklBl

で定義すれば、(2-35) に -   ___
Ö- g を乗じたものは、

(2-40)  fj = riEj + ejklJikBl

となり、ユークリッド空間におけるLorentz力の式（「電磁気学」第０節 (L_i) 参照）の成分表示と全く同じ形の式が得られます。同様に、

(2-41)  Fj º -

Kij ——  gi

と置けば、(2-26),(2-30),(2-29),(2-31),(2-39) により、

(2-42)  Fj = - qiFmj

dxim ——  dt

= qi(Ej + ejklvikBl)

が得られます。また、

(2-43)  F j º

Kij ——  gi

と置けば、(2-30) により (2-27) は、

(2-44)  mi

ì í î

d  —– dt

æ è

gi

dxij ——  dt

ö ø

+ giΓ jml

dxim ——  dt

dxil ——  dt

ü ý þ

= F j

という形になります。そこで相対論的質量 m_i* を

(2-45)  mi* = migi

で定義して (2-29),(2-31) を用いれば、(2-44) は、

(2-46)

d  —– dt

(mi* vij) = F j - m*(c²Γ j00 + 2cΓ jk0vik + Γ jklvikvil)

という形になり、Newtonの運動方程式に見かけの力が加わった形に表わされます。