相対性理論

　本節では、電磁ポテンシャル a を任意に変化させ、作用積分 S(Ω) が停留値をとるための条件を求めてみましょう。電磁ポテンシャルが含まれている作用積分は S_e(Ω) と S_i(Ω) だけですから、最小作用の原理を考える際にはこれらの和のみを考えれば十分です。

(3-1)  Se(Ω) + Si(Ω)	= òΩ ì í î da ^ *da ———— 2mc + a( j ) dΩ ü ý þ
	= òΩ ì í î da ^ *da ———— 2mc + ija dΩ ü ý þ
	= òΩ ì í î da ^ *da ———— 2mc + ij(a ^ dΩ) + a ^ ijdΩ ü ý þ
	= òΩ ì í î da ^ *da ———— 2mc + a ^ ( j · dS(4) ) ü ý þ

　ただし、３番目の等号で「微分多様体」第６節 (6-12) を、４番目の等号で a ^ dΩ = 0 と同第19節 (19-42) を使いました。

　ここで a の微小変化に対して S_e(Ω) + S_i(Ω) が停留値をとるような1形式 a を求めてみましょう。a の微小変化量 da を、¶Ω で 0 になるような範囲で任意にとり、作用積分の差をとれば、

(3-2)  d S(Ω) = d Se(Ω) + d Si(Ω) =

òΩ

dw(a)

　ただし

(3-3)  w(a) =

da ^ *da ———— 2mc

+ a ^ ( j · dS(4) )

ですから、

(3-4)  dw(a)	= d(da) ^ *da + da ^ d(*da) ——————————— 2mc + (da) ^ ( j · dS(4) )
	= d(da) ^ *da + da ^ *d(da) ——————————— 2mc + (da) ^ ( j · dS(4) )
	= d(da) ^ *da + d(da) ^ *da ——————————— 2mc + (da) ^ ( j · dS(4) )       ( ∵「微分多様体」第24節 (24-10) )
	= d(da) ^ *da ————— mc + (da) ^ ( j · dS(4) )
	= d{(da) ^ *da} + (da) ^ d(*da) ————————————– mc + (da) ^ ( j · dS(4) )       ( ∵「微分多様体」第７節 (7-3) )
	= d{(da) ^ *da} + (da) ^ {d(*da) + mcj · dS(4) } ——————————————————–  mc

　ゆえに

(3-5)  mcd S(Ω)	= òΩ d{(da) ^ *da} + òΩ (da) ^ {d(*da) + mcj · dS(4) }
	= ò¶Ω (da) ^ *da + òΩ (da) ^ {d(*da) + mcj · dS(4) }       ( ∵「微分多様体」第12節 (12-16) )
	= òΩ (da) ^ {d(*da) + mcj · dS(4) }       ( ∵ da = 0 on ¶Ω )

　よって、a で S(Ω) が停留値をとるならば、任意の da に対して d S(Ω) = 0 なので、

(3-6)  d(*da) + mcj · dS(4) = 0

という電磁ポテンシャルの満たすべき方程式が得られます。これは、両辺の共役（「微分多様体」第24節参照）をとって -1倍すると、同節 (24-26) と同第25節 (25-12) により、

(3-7)  d(da) + mcj · ds = 0

と書くことができます。(3-6) 又は (3-7) を電磁場の方程式とよぶことにします。さて、c を任意のスカラー場とするとき、a を

(3-8)  a' = a + dc

と変換することをゲージ変換といいます。ddc = 0 により

(3-9)  da' = da

ですから、電磁場の方程式はゲージ変換に対して不変であることがわかります。また、

(3-10)

òΩ

a' ^ ( j · dS(4) ) =

òΩ

a ^ ( j · dS(4) ) +

òΩ

dc ^ ( j · dS(4) )

ですが、もし c が Ω の境界で 0 ならば、第０節 (J) と (JC) により Div j = 0 であることにも注意すると、

(3-11)

òΩ

dc ^ ( j · dS(4) ) =

òΩ

d(c j · dS(4) ) -

òΩ

cd( j · dS(4) ) =

ò¶Ω

c j · dS(4) -

òΩ

c Div j dΩ = 0

となるので、作用積分自身が Ω の境界で 0 となるゲージ変換に対して不変であることがわかります。
　さて、一般に、スカラー c に対して

(3-12)  dc = 0

が成り立ちますから、d'Alembertian £ を

(3-13)  £ = d d + d d

で定義し（「微分多様体」第25節 (25-17) 参照）、c を

(3-14)  £c = - da

の解とすれば、この c でゲージ変換した新しい電磁ポテンシャルは

(3-15)  da = 0

を満たし、方程式 (3-7) は、d'Alembert方程式：

(3-16)  £a = - mcj · ds

の形になります。このような電磁ポテンシャルをLorentzゲージのポテンシャルといいます。

　さて、次に (3-7) を (2-10) と「微分多様体」第25節 (25-2) を使って成分表示すると、

(3-17)  Fln;l + mcjn = 0

という式になります。これをさらに「微分多様体」第25節 (25-7) を使って変形し、  ___
Ö- g を両辺に乗じると、

(3-18)  ¶l(Fln   ___ Ö- g ) + mcjn   ___ Ö- g = 0

となります。ここで

(3-19a)  r º åi ri = åi roigi  ___ Ö- g = åi roiui0   ___ Ö- g = j0   ___ Ö- g       ( ∵ (2-32a),(J) )

(3-19b)  J k º åi Jik = åi roigivik   ___ Ö- g = c åi riuik   ___ Ö- g = cjk   ___ Ö- g       ( ∵ (2-38b),(2-32b),(J) )

(3-20a)  F 0j   ___ Ö- g = - F j0   ___ Ö- g º mcD j

(3-20b)  F jk   ___ Ö- g = - F kj   ___ Ö- g º me jklHl

と置けば、(3-18) で n = 0 として

(3-21)  ¶j(F j0   ___ Ö- g ) + mcj0   ___ Ö- g = 0

すなわち

(3-22)  ¶jD j = r

が得られ、(3-18) で n = k とすれば

(3-23)  ¶0(F 0k   ___ Ö- g ) + ¶j(F jk   ___ Ö- g ) + mcj k  ___ Ö- g = 0

が得られ、(2-28) が成り立つ場合、t を (2-29) で定義すれば、(3-23) を m で割ることにより

(3-24)

¶Dk ——  ¶t

- e kjl¶jHl + J k = 0

が得られます。(3-22) と (3-24) は、Maxwell方程式（「電磁気学」第０節参照）の (M1),(M2) を成分で書いたものと同じ形になっています。また、恒等式

(3-25)  d(da) = 0

を成分表示すると、

(3-26)  0 = d(Fmn dxm ^ dxn) = ¶lFmn dxl ^ dxm ^ dxn

により

(3-27)  ¶lFmn + ¶mFnl + ¶nFlm = 0

が得られます。実際、添字がすべて異なる場合は (3-26) から導かれ、添字に一組でも等しいものがあれば F_mn の反対称性により両辺とも 0 になるからです。
　一方、d(da) を「微分多様体」第22節 (22-1) を用いて変形すると、

(3-28)  {d(da)}lmn =

(Ñda)lmn + (Ñda)mnl + (Ñda)nlm - (Ñda)nml - (Ñda)mln - (Ñda)lnm ————————————————————————————  2!

=

Fmn;l + Fnl;m + Flm;n - Fml;n - Fln;m - Fnm;l ——————————————————–  2

　ゆえに、(3-25) と F_mn の反対称性を用いれば、(3-27) の共変微分による表示：

(3-29)  Fmn;l + Fnl;m + Flm;n = 0

が得られます。さて、(3-27) で l = 0 ，m = j ，n = k とすれば、(2-39) により

(3-30)  0 = ¶0Fjk + ¶jFk0 + ¶kF0j = ejkl¶0B l + (djpdkq - djqdkp)¶pFq0 = ejkl(¶0B l + e pql¶pFq0) = ejkl(¶0B l + c-1e lpq¶pEq)

となり、Maxwell方程式 (M3) を成分で書いたものと同じ式：

(3-31)

¶Bl ——  ¶t

+ e lpq¶pEq = 0

が得られます。また、(3-27) で l = 1 ，m = 2 ，n = 3 と置けば、Maxwell方程式 (M4) を成分で書いたものと同じ式：

(3-32)  ¶jB j = 0

が得られます。最後にポテンシャルについては、

(3-33a)  j = - ca0

(3-33b)  Aj = aj

と置くと、(2-39a),(2-10) により、

(3-34)  Ej = cFj0 = c¶ja0 - c¶0aj = - ¶jj -

¶Aj ——  ¶t

(3-35)  ejklB l = Fjk = ¶jak - ¶kaj = (dpjdqk - dqjdpk)¶paq = ejkle pql¶paq

ですから、

(3-36)  B l = e pql¶paq = e lpq¶pAq

が成り立ちますが、(3-34) と (3-36) は、ユークリッド空間の電磁ポテンシャルの定義（「電磁気学」第６節 (6-1) 参照）の成分表示と同じ形になっています。