相対性理論

　Einsteinテンソルは、「微分多様体」第23節 (23-51) により、

(5-1)  Gln;l =

ì í î

Rln -

1 —– 2

glnR

ü ý þ

;l

= gmn

ì í î

Rml -

1 —– 2

dlmR

ü ý þ

;l

= gmn

ì í î

Rml;l -

1 —– 2

R;m

ü ý þ

= 0

を満たします。したがって (4-34) と、計量の共変微分が 0 であること：

(5-2)  gln;l = 0

により、エネルギー・運動量の保存則：

(5-3)  T ln;n = 0

が成り立つことがわかります。しかし、(5-3) は、実は (4-34) を使わなくても、運動方程式 (2-11),(2-12) と電磁場の方程式 (3-17),(3-29) から、以下のようにして直接導くことができます。

　まず (MC) と「微分多様体」第25節 (25-8) により

(5-4)  0 = Div(hoiui) = (hoiuim );m

が成り立ちますから、(J),(2-11),(2-12),(5-4),(4-29) により

(5-5)  cFmnjm = c åi roiFmnuim = åi kin = c² åi hoiuim uin;m = (c² åi hoiuim uin );m = Tpmn;m

　一方、(3-29) により、

(5-6)  0 = (Fmn;l + Fnl;m + Flm;n )Flm = Fmn;lFlm + Fnm;lFml + Flm;n gklgimFki = 2Fmn;lFlm +

1 —– 2

(FkmFkm );n

　これと (3-17) により、

(5-7)  mcFmnjm = - FmnFlm;l = - (FmnFlm );l + Fmn;lFlm = -

ì í î

FmnFlm +

1 —– 4

glnFkmFkm

ü ý þ

;l

　ゆえに (4-17) により

(5-8)  cFmnjm = - Teln;l

が得られ、これと (5-5) から (5-3) が得られます。

　さてここで、T ^ln の意味するところを調べてみましょう。まず T_e^ln の方ですが、(4-17) の両辺に   ___
Ö- g を乗じて、添字 n を“下げ”れば、

(5-9)  Temn  ___ Ö- g =

1 —– m

ì í î

Fml   ___ Ö- g Fln +

1 —– 4

d mn Fkl   ___ Ö- g Fkl

ü ý þ

となりますが、

(5-10)	1 —– 4m	Fkl   ___ Ö- g Fkl	= 1 —– 4m { F 0j   ___ Ö- g F0j + F j0   ___ Ö- g Fj0 + F jk   ___ Ö- g Fjk }
			= 1 —– 4m { - 2F 0j   ___ Ö- g Fj0 + F jk   ___ Ö- g Fjk }
			= 1 —– 4 ì í î - 2cD j Ej —–  c  + e jklHlejkmB m ü ý þ       ( ∵ (2-39),(3-20) )
			= B jHj - D jEj —————–  2

ですから、

(5-11a)  Te00  ___ Ö- g =

F 0j   ___ Ö- g Fj0 —————  m

+

B jHj - D jEj —————–  2

= D jEj +

B jHj - D jEj —————–  2

=

D jEj + B jHj —————–  2

(5-11b)  Tej0  ___ Ö- g =

F jk  ___ Ö- g Fk0 —————  m

=

e jklEkHl ————  c

(5-11c)  Te0k   ___ Ö- g =

F 0j  ___ Ö- g Fjk —————  m

= cD jejklB l = - cekjlD jB l

(5-11d)  Tejk  ___ Ö- g	=  F j0  ___ Ö- g F0k + F jl  ___ Ö- g Flk ———————————  m    + d jk B lHl - D lEl —————–  2
	= D jEk + e jlme lkn Hm B n + d jk B lHl - D lEl —————–  2
	= D jEk + (dmkd jn - dmnd jk)Hm B n + d jk B lHl - D lEl —————–  2
	= D jEk + B jHk - d jk B lHl + D lEl —————–  2

となるので、「電磁気学」第５節 (5-1),(5-16),(5-17),(5-29),(5-30),(5-35) により、(5-11a)~(5-11d) は、順に電磁エネルギー密度、Poynting vectorを c で除したもの、電磁場の運動量に - c を乗じたもの、Maxwell応力テンソルをそれぞれ成分表示したものと同じ式になっています。次に、

(5-12a)  hi º hoigi  ___ Ö- g

(5-12b)  ki º hiui0c²

(5-12c)  pik º - chiuik

と置けば、

(5-13a)  Tp00  ___ Ö- g = c²hoiui0  ___ Ö- g ui0 = c²hoigi  ___ Ö- g ui0 = ki

(5-13b)  Tpj0  ___ Ö- g = c²hoiuij  ___ Ö- g ui0 = choigi  ___ Ö- g vijui0 =

kivij ——  c

(5-13c)  Tp0k  ___ Ö- g = c²hoiui0  ___ Ö- g uik = c²hoigi  ___ Ö- g uik = - cpik

(5-13d)  Tpjk  ___ Ö- g = c²hoiuij  ___ Ö- g uik = choigi  ___ Ö- g vijuik = - pikvij

となり、「電磁気学」第32節 (32-43) と比較すれば、(4-35a)~(4-35d) は、順に力学的エネルギー密度、力学的エネルギー流を c で除したもの、力学的運動量に - c を乗じたもの、力学的運動量の流れに - 1 を乗じたものをそれぞれ成分表示したものと同じ式になっています。

　一方、(5-3) は、「微分多様体」第25節 (25-7) により

(5-14)  ¶l(T ln  ___ Ö- g ) = T ln;l  ___ Ö- g = 0

と書けますが、これはさらに

(5-15)

¶ —–  ¶t

T 0n  ___ Ö- g ———–  c

+ ¶j(T jn  ___ Ö- g ) = 0

と書けます。もし添字 n が下にあれば、n = 0 の式はエネルギー保存則（「電磁気学」第５節 (5-27) 参照）を、n = k の式は運動量保存則（同節 (5-37) 参照）をそれぞれ成分表示したものに一致しますが、一般には g_mn は定数でないので、(5-15) で添字 n を下げることはできません。