数学

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 数学の基礎
 数学の議論は、通常、古典論理とよばれる論理をベースにZFあるいはBGとよばれる公理的集合論のもとで展開されますが、この推論体系では、推論規則や公理それ自体は天与のもので、それ自体の妥当性に関する根拠が提示されているわけではありません。
 そこで、本稿では、構文論的な見地から根拠を持つ推論規則や公理のみを使って数学の議論を展開します。このような数学を構成主義数学といい、大雑把に言えば、通常の数学から排中律と外延性公理と置換公理を除いた推論体系です。この推論体系のもとで、数の構築、微分、常微分方程式、Lebesgue積分論、初等関数、Γ-関数、ζ-関数、超越数論、複素解析学、調和解析等を解説します。
     
 集合と位相
 「数学の基礎」で既に論じた集合や位相の議論に加え、ここではBG集合論で新たに追加された公理(特に外延性公理とそこから導かれる排中律)により、順序数、集合の濃度、Zornの補題、整列可能定理、位相空間のコンパクト性、距離付け可能性、連結性、位相群の閉グラフ定理などの強力な結果を得ることを主眼にします。
 
 代数の基礎
 群論・環論・線形代数の基礎を扱います。

 (作成中)
 
 微分多様体
 偏微分方程式論や、電磁気学、一般相対性理論のような物理で必要となる多様体に関する理論を解説しました。
 Poincaréの補題、Stokesの定理、共変微分、曲率テンソルはもちろん、カレント、動く多様体上の積分、de Rhamの定理、共役な微分形式や、ベクトル解析で出てくる div, rot, grad や、面積ベクトルなども、多様体上の概念として解説しました。
 
 関数解析
 実一変数関数・複素解析・積分論・線形位相空間論・半群・Hilbert空間論等を扱います。

 (作成中)
 
 偏微分方程式
 緩増加超関数の導入とFourier変換の定義から始めて、2階の楕円型、放物型、双曲型偏微分方程式について解説しました。最初に定数係数方程式の基本解をフーリエ変換によって構成し、次に擬微分作用素を定義して解の滑らかさについて論じ、更に多様体上の偏微分方程式の初期値境界値問題について考察します。
 



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