本稿では数学のデファクト・スタンダードである公理的集合論による数学の基礎を解説します。まずはじめに「数学の基礎」で前提とした推論規則と公理の全体を復習しておきましょう。
予め指定された変数や記号を、論理式の構成に関する規則に従って並べたものを論理式といい、これは更に項と命題に分けることができます。
すなわち項とは、変数、関数記号に項を代入したもの、あるいは命題や項に項型量化記号を施したものからなり、命題とは、述語記号に項を代入したもの、命題を論理接続詞で結合したもの、あるいは命題や項に命題型量化記号を施したものからなります。
いくつかの命題を指定してこれを仮定と名付け、その仮定のもとで、予め指定された推論規則に従って次々に定理とよばれる命題を導いていくプロセスを証明といいます。理論の出発点で仮定に指定されている命題を公理といいます。また証明の途中で、ある命題 P を仮定に追加するとき、P を仮定するといいます。
なお、量化記号で縛られた変数のことを束縛変数とよび、このような変数は、見かけ上の変数とみなして変数の概念からは除外して考えることにします。この約束のもとで、いずれの仮定にも現れない変数のことを自由変数とよびます。
本稿で解説する公理的集合論では、論理接続詞として Ù , Ú , Þ , ^ を、命題型量化記号として " , $ を用いることとし、まず構造及び論理記号に関係する推論規則を以下のように定めます（「数学の基礎」第１節参照）：
構造に関する推論規則
| ( 仮 定 ) | 命題 P が仮定の中のいずれかであれば、P は定理である。 |
導入規則
| ( | 命題 P と命題 Q が共に定理ならば、 |
| ( | 命題 P と命題 Q の少なくとも一方が定理ならば、 |
| ( | 命題 P を仮定したとき命題 Q が定理であれば、 |
| ( | x が自由変数で、命題 P が定理ならば、 |
| ( | 命題 P の変数 x に項 T を代入して得られる命題 (T | x)P |
消去規則
| ( | 命題 P , Q に対して |
| ( | 命題 P , Q , R に対して |
| ( | 命題 P , Q に対して P と |
| ( | 命題 P と変数 x に対して (T | x)P |
| ( | 命題 P と自由変数 x に対して |
| ( | 命題 |
他にも構造に関する推論規則がありますが（「数学の基礎」第１節の ( 同 一 ), ( 増 ), ( 減 ), ( 換 ), ( 代 入 ), ( 切 断 ) ）、それらは上記のような定式化のもとでは意味がないか（この中の ( 換 ) が該当）、あるいは上記の推論規則のもとで導出できてしまうので（「数学の基礎」第２節参照）、本稿では推論規則として敢えて提示しないことにします。
なお、命題 P に対し、 Þ ^ØP( P
Þ Q ) Ù ( Q Þ P ) Û Qt と変数 x と命題 P に対し、"x(
t(x) Þ P)"txP$x(
t(x) Ù P)$txP
次は等号に関する推論規則です（「数学の基礎」第４節参照）：
| ( | 項 T に対して |
| ( | 命題 P の変数 x に項 S を代入して得られる (S | x)P (T | x)P |
ただし本稿では「数学の基礎」とは異なり、等号を º ではなく = で表わし、更に Ø x = y ¹ y
またある命題を満たす対象が見つかったとき、そのようなものの一つを表わすための ε
量化記号に関する推論規則は次のとおりです（「数学の基礎」第４節参照）：
(ε導入) | 命題 P の変数 x に項 T を代入して得られる命題 (T | x)P εxP (εxP | x)P |
次は集合論の公理です。「数学の基礎」第５節で導入した再帰的集合論とその上の冪理論は、十分豊富な議論が展開できる理論体系でしたが、本稿では、これより更に強い公理を前提にすることにします。
まず、任意に与えられた１変項述語記号 t に対し、１変項述語 small
, class
と、２変項述語 Î と、命題を引数とする項型量化記号 { · | · }
small(T )
class(T )
set(a)
ここで、t であれば small
であり、class
が small
の上の冪理論（「数学の基礎」第５節参照）となるように、次の推論規則を追加します：
(1-1a) | T が項で、(T ) small(T ) |
(1-1b) | x が変数、P が変数なら class({ x | P }) |
(1-1c) | x が変数、P が変数、T が項で、small(T ) (T | x)P { x | P } |
(1-1d) | x が変数、P が変数、T が項で、{ x | P } small(T ) (T | x)P |
このように定めた上で、更に１変項述語記号 small
が t 上の再帰的集合論（「数学の基礎」第５節の (Set-1)~(Set-5)
参照）となるように公理を追加していくのですが、そのために次のような省略記号を導入します：
(1-2a) |
(1-2b) |
(1-2c) A |
(1-2d)a |
(1-2e)A |
(1-2f) A |
(1-2g) A |
(1-2h) A \ B |
(1-2i) |
(1-2j) |
(1-2k) |
(1-2l) [ |
(1-2m) { a, b } |
(1-2n) P (A) |
(1-2o) { x |
この定義のもとで、次の公理を追加します。
(全体集合の公理) small( [ |
(非順序対の公理) small a : |
(和集合の公理) small a : small( |
(冪集合の公理) small a : small( P (a) ) |
これらは、それぞれ「数学の基礎」第５節の再帰的集合論の公理のうちの (Set-1)~(Set-4)
に対応します。なお、残る (Set-5)
に対応する公理は後述する置換公理から導出できます。
さて、集合 {a, a}
{a}
{{a}, {a, b}}
(a, b)
(1-3) |
が成り立ちます。
順序対からなる類 R を二項関係とよび、{ x |
$small y : (x, y)ÎR }(R)
{ y |
$small x : (x, y)ÎR }(R)
{ y |
$xÎA : (x, y)ÎR }[A]
-1 :º {( y, x) | (x, y)
ÎR }
二項関係 F は、(x, y), (x, z)
ÎF Þ y = z-1 -1map(F )
関係 R が類 A から類 B への関係であるとは、(R)
= A(R)
Ì B(R)
= B :
A ® B
なお、写像 F に対し、ÎD(F )
(x, y)
ÎFεsmall y[(x, y)
ÎF ](x)
さて、本稿で展開する公理的集合論では、再帰的集合論の公理群より強い次の公理を前提にします：
(置 換 公 理)
|
(外延性公理)
|
まず外延性公理により、合併集合の公理：
(1-4) ( set (a) |
が得られます。実際、非順序対の公理と和集合の公理により È{a, b}
Èb(1-4)
が得られます。
また、任意の命題 P に対して、分出公理：
(1-5) set (a) |
も導かれます。実際、 :º {(x, x) | P }
{ x
Îa | P }[a]
また、分出公理と全体集合の公理から、{ x
Î[t] | ^ }Æ は集合であることがわかります：
(1-6) set ( |
これを空集合の公理といいます。
さて、次に無限公理について考えてみましょう。「数学の基礎」第10節の無限公理をそのまま仮定してもよいのですが、これを論理式で実際に記述すると長くなるので、より形式上シンプルで同値な公理を探してみましょう。
まず同第10節の無限公理を仮定すると、帰納的に集合 N
上の写像 F を
(1-7a) F( |
(1-7b) F(s(n)) |
で定義することができます（同第10節 (10-7)
参照）。すると、置換公理により :º F[N]
(無限公理)
|
逆に、この形の無限公理を仮定すると、この条件を満たす集合 a すべての共分を N
と置き、Æ を 0 と書き、x に È{x}
s
と書くと、(N,
0, s)(10-21)
参照）。
以上により、上記の無限公理が「数学の基礎」第10節の無限公理と同値であることがわかりました。
本稿では、集合に関する公理として、以上に挙げた７つの公理を前提にすることにします。
ところで外延性公理の「元が共通な類は相等しい」というのは、一見何の変哲もない、単なる便宜的な約束事に過ぎない公理のように見えますが、実は等号の推論規則 (= 消去) と組み合わせると非構成的な内容を持ち、実際、排中律が証明できてしまいます。実際、0 = Æ1 = {
Æ}
(1-8a) A |
(1-8b) B |
と置くと、1ÎA0ÎB
(1-9a) a |
(1-9b) b |
と置くと、ÎAÎB
(1-10a) ( a |
(1-10b) b |
が共に成り立ちます。ゆえに場合分けにより、次のいずれかが成り立ちます。
(1-11a) ( a |
(1-11b)a |
まず (1-11a)
が成り立つ場合は、明らかに P が成り立ちます。
一方 (1-11b)
が成り立つ場合は、P が成り立つと仮定すると、外延性公理により = {
0, 1} = B = B(1-9)
と推論規則 (= 消去) により = b(1-11b)
と矛盾するので、 Þ ^ØP
これは任意の命題 P について排中律が成り立つことを意味しています。
以上により、本稿の公理的集合論は古典論理に従うことがわかりました。この理論を（ε
量化記号を持つ）BG
集合論といいます。BG
集合論では、古典論理に従うという性質のために、以下の節で明らかになるように、多くの非構成的な存在定理が成り立ちます。
さて、同値関係 » を持つ集合 A に対し、各 ÎA :º { x
ÎA | x » a }/» :º { Aa | a
ÎA } » b Û "xÎA : ( x
» a Û x » b ) Û "xÎA : ( xÎAa Û xÎAb ) Û Aa = Ab
そこで、この /»» に対する商集合とよべば、集合の圏（「数学の基礎」第８節参照）において、対象 (A,
»)(A
/», =)
また、商集合（あるいは一般に等号を同値関係に持つ集合）で定義された写像はすべて関数（「数学の基礎」第８節参照）ですから、本稿およびそれ以降では写像という語と関数という語を特に区別なく用いることにします。また、排中律が成り立つので、関数と強関数（「数学の基礎」第８節 (8-35)
参照）の区別もなくなります。
さて、集合の合併と共分については、「数学の基礎」第５節 (5-6)~(5-11)
により、集合 A , B , C 及び集合から成る集合（集合族） A に対し、
(1-12a)A |
(1-12b)A |
(1-12c) (A |
(1-12d) (A |
(1-12e) (A |
(1-12f) (A |
(1-12g) A |
(1-12h) C \ (A |
(1-12i) C \ (A |
(1-12j) (C \ A) |
(1-12k) (C \ A) |
(1-12l) C \ (C \ A) |
(1-12m) ( |
(1-12n) ( |
(1-12o) B \ |
(1-12p) B \ |
が成り立ちます。
さて、本節の最後に、集合の正則性について考察します。類 A は
(1-13)y |
を満たすとき無限降下的であるといい、いかなる無限降下的な類にも属さない集合を正則な集合といいます（「数学の基礎」第10節 (10-21)
の次の段落参照）。
正則な集合 a は、空でない無限降下的部分集合を含むことはありません。なぜなら Ì aÈ{a}
特に、正則な集合 a に対して ÎaÎbÎa{a}
{a, b}
また、集合 a が正則であることと a の元がすべて正則であることは同値です。
実際、a を元に持つ無限降下的な A が存在すれば、ある Îa
逆に、ある ÎaÈ{a}
このことを利用して、上に挙げた集合論の各公理で、正則性が“遺伝”することを確かめましょう。
まず、空集合 Æ は正則であることがわかります。なぜなら空集合の元は存在しないので、“元がすべて正則”という条件を自明に満たすからです。
また、a , b が共に正則なら {a, b}
次に、a が正則ならその任意の元 x は正則、従って更に x の任意の元も正則です。したがってそのような元からなる集合 Èa
次に、a が正則ならその元も正則なので、それらのみを元に持つ a の任意の部分集合も正則、従ってそれらを元に持つ (a)
次に F を、その元がすべて正則な写像とすると、F の元 (x, y)
= {{x}, {x, y}}[a]
最後に無限公理を満たす正則な集合が存在することを示しましょう。条件
(1-14) |
を満たすすべての集合 a の共分を w と書くと、無限公理によりそのような a は少なくとも一つ存在するので w は集合であり、明らかに w も (1-14)
を満たします。
次に w の元のうち正則なものの全体を A と書くと、既に確かめたように、A は (1-14)
を満たします。よって w の最小性により w Ì Aw の元がすべて正則であることを意味しますから、w 自体が正則であることがわかります。
以上により、正則な集合のみを考えても集合論の公理がすべて満たされることがわかったわけですが、このことから通常のBG
集合論の解説書では“すべての集合は正則である”という仮定（正則性公理）を置いています。
これは、公理的集合論を作った動機が“目的としている数学理論が展開できるようななるべく小さいモデルを作りたい”というものだったからではないかと思われます。実際これ以外にも、通常のBG
集合論の解説書では“類でない項の存在”は仮定しないのが普通です。これも、類以外の対象は“目的としている数学理論の展開に必要がない”からであると考えられます。
しかしながら、本稿では“数学理論が展開できるモデルを作る”ことを目的にするのではなく、“数学の推論を行うのに、仮定はなるべく少ない方が一般性があってよい”という考え方から、“類以外の対象があってもかまわない”し、“正則性公理は仮定しない”立場をとることにします。