集合と位相

　順序数 a を固定し、ある順序数 b に対する切片 Ord_b = b を定義域とする写像 f に対し、

(3-1)  T( f ) :º aÈR( f )

と置いたとき、これにより (2-20) によって順序類 Ord 上に超限帰納的に構成される写像を順序数の加法とよび、その b における値を a + b と書いて、これを a と b の和とよびます。
　まず、任意の順序数 a , b に対し、a + b が順序数であることを b に関する超限帰納法で証明しましょう。a + b の定義を書き直すと、

(3-2)  a + b = aÈ{ a + g | gÎb }

となります。
　そこで任意の gÎb に対して a + g が順序数であると仮定し、任意の xÎa + b を取ると、xÎa 又はある gÎb に対して x = a + g となります。
　a が順序数であることと超限帰納法の仮定により x は順序数ですから、特に x は推移的であることと a + b の正則性がわかります。あとは a + b 自体の推移性、すなわち x Ì a + b を示せば十分です。
　まず xÎa のときは、a が推移的であることと (3-2) から x Ì a Ì a + b となるので明らかです。
　また x = a + g の場合は、b の推移性により qÎgÎb なら qÎb ですから、x = a + g = aÈ{ a + q | qÎg }Ì aÈ{ a + q | qÎb } = a + b となって a + b の推移性は証明されました。
　よって超限帰納法が完成して、a + b は順序数になることがわかりました。

　さて、(3-2) から特に

(3-3a)  a + 0 = a + Æ = aÈ{ a + g | gÎÆ } = a

(3-3b)  a + {0} = aÈ{ a + g | gÎ{0}} = aÈ{ a + 0 } = aÈ{a} = a + 1

が成り立ちます。そこで 1 :º {0} = 0 + 1 と定義すれば、これは 0 の次の順序数であり、a + 1 は文字通り a と 1 の和とみなすことができます。また

(3-3c)  0 + a = a

が成り立ちます。実際、任意の bÎa に対して (3-3c) が成り立つと仮定すると、0 + a = 0È{ 0 + b | bÎa } = ÆÈ{ b | bÎa } = a ですから a でも成り立ち、超限帰納法により (3-3c) が証明されます。(3-3a),(3-3c) により、0 は加法の単位元であることがわかります。

　さて、この加法について結合律：

(3-4)  a + ( b + g ) = ( a + b ) + g

が成り立つことを g に対する超限帰納法で証明しましょう。任意の sÎg に対して (3-4) の g を s に置き換えた式が成り立つと仮定すれば、

(3-5)  a + ( b + g )	= aÈ{ a + q | qÎb + g }
	= aÈ{ a + q | qÎbÈ{ b + s | sÎg } }
	= aÈ{ a + q | qÎb }È{ a + ( b + s ) | sÎg }
	= ( a + b )È{ ( a + b ) + s | sÎg }
	= ( a + b ) + g

となって g に対しても (3-4) が成り立ち、超限帰納法によりすべての順序数に対して (3-4) が成り立つことがわかりました。

　ちなみに 1 + w = {0}È{ 1 + g | gÎw } = w ¹ wÈ{w} = w + 1 ですから加法の交換律 a + b = b + a は必ずしも成り立ちません。

　次に、順序数 a を固定し、ある順序数 b に対する切片 Ord_b = b を定義域とする写像 f に対し、

(3-6)  T( f ) :º { s + q | sÎR( f )  Ù  qÎa }

と置いたとき、これにより (2-20) によって順序類 Ord 上に超限帰納的に構成される写像を順序数の乗法とよび、その b における値を ab と書いて、これを a と b の積とよびます。
　まず、任意の順序数 a , b に対し、ab が順序数であることを b に関する超限帰納法で証明しましょう。ab の定義を書き直すと、

(3-7)  ab = { ag + q | gÎb Ù qÎa }

となります。
　そこで任意の gÎb に対して ag が順序数であると仮定し、xÎab とすると、x = ag + q となる gÎb と qÎa が存在します。
　超限帰納法の仮定により x は順序数ですから、特に x は推移的で、ab は正則です。あとは ab 自体の推移性 x Ì ab を示せば十分です。
　yÎx とすると、和の定義により、yÎag 又はある sÎq に対して y = ag + s となります。
　後者の場合は、a の推移性により sÎa ですから (3-7) により yÎab は明らかです。
　前者の場合は、a と g の積の定義により、ある sÎg と qÎa が存在して y = as + q となりますが、b の推移性により sÎb となるので、(3-7) により yÎab がわかります。以上で ab の推移性は証明されました。
　よって超限帰納法が完成して、ab は順序数になることがわかりました。

　さて、(3-7),(3-3c) から

(3-8a)  a0 = aÆ = { ag + q | gÎÆ Ù qÎa } = Æ = 0

(3-8b)  a1 = a{0} = { ag + q | gÎ{0} Ù qÎa } = { a0 + q | qÎa } = { 0 + q | qÎa } = { q | qÎa } = a

(3-8c)  0a = Æa = { 0g + q | gÎa Ù qÎÆ } = Æ = 0

が成り立ちます。また

(3-8d)  1a = a

が成り立ちます。実際、任意の bÎa に対して (3-8d) が成り立つと仮定すると、1a = { 1g + q | gÎa Ù qÎ1 } = { g + 0 | gÎa } = a ですから a でも成り立ち、超限帰納法により (3-8d) が証明されます。(3-8b),(3-8d) により、1 は乗法の単位元であることがわかります。

　さて、加法と乗法に関する右分配律：

(3-9)  a(b + g) = ab + ag

が成り立つことを g に対する超限帰納法で証明しましょう。任意の tÎg に対して (3-9) の g を t に置き換えた式が成り立つと仮定すれば、

(3-10)  a(b + g)	= { as + q | sÎb + g Ù qÎa }
	= { as + q | sÎbÈ{ b + t | tÎg } Ù qÎa }
	= { as + q | sÎb Ù qÎa }È{ a(b + t) + q | tÎg Ù qÎa }
	= (ab)È{ (ab + at) + q | tÎg Ù qÎa }
	= (ab)È{ ab + (at + q) | tÎg Ù qÎa }
	= (ab)È{ ab +r | rÎag }
	= ab + ag

となって、g についても成り立つので、超限帰納法により (3-9) は証明されました。

　ちなみに 2 :º 1 + 1 と置けば、2w = { 2g, 2g + 1 | gÎw } = w ¹ w + w = 1w + 1w となるので、左分配律 (a + b)g = ag + bg は一般に成り立ちません。更に、w2 = w(1 + 1) = w1 + w1 = w + w ですから 2w ¹ w2 であり、乗法の交換律 ab = ba も一般に成り立たないことがわかります。

　更に乗法についても結合律：

(3-11)  a(bg) = (ab)g

が成り立つことを g に対する超限帰納法で証明しましょう。任意の tÎg に対して (3-11) の g を t に置き換えた式が成り立つと仮定すれば、

(3-12)  a(bg)	= { as + q | sÎbg Ù qÎa }
	= { a(bt + r) + q | tÎg Ù rÎb Ù qÎa }
	= { (a(bt) + ar) + q | tÎg Ù rÎb Ù qÎa }
	= { a(bt) + (ar + q) | tÎg Ù rÎb Ù qÎa }
	= { (ab)t + s | tÎg Ù sÎab }
	= (ab)g

となって g に対しても (3-11) が成り立ち、超限帰納法によりすべての順序数に対して (3-11) が成り立つことがわかりました。

　なお、

(3-13a)  b < g  Þ  bÎg  Þ  a + b Î aÈ{ a + q | qÎg } = a + g  Þ  a + b < a + g

が成り立ち、a ¹ 0 すなわち 0Îa ならば、

(3-13b)  b < g  Þ  bÎg  Þ  ab = ab + 0 Î { as + q | sÎg Ù qÎa } = ag  Þ  ab < ag

ですから、加法も a ¹ 0 のときの乗法も（右側の変数について）一対一で単調増加です。これと (3-8c) により直ちに

(3-14a)  b £ g  Þ  a + b £ a + g

(3-14b)  b £ g  Þ  ab £ ag

がわかり、特に

(3-15a)  a = a + 0 £ a + b

(3-15b)  b ¹ 0  Þ  1 £ b  Þ  a = a1 £ ab

が成り立ちます。また a を順序数、B を順序数からなる集合とし、b = sup B = ÈB と置くと、

(3-16a)  sup { a + g | gÎB }	= È{ a + g | gÎB }
	= È{ aÈ{ a + q | qÎg } | gÎB }
	= aÈ{ a + q | $gÎB qÎg }
	= aÈ{ a + q | qÎÈB }
	= aÈ{ a + q | qÎb }
	= a + b

(3-16b)  sup { ag | gÎB }	= È{ ag | gÎB }
	= È{ { aq + s | qÎg Ù sÎa } | gÎB }
	= { aq + s | sÎa Ù $gÎB qÎg }
	= { aq + s | sÎa Ù qÎÈB }
	= { aq + s | sÎa Ù qÎb }
	= ab

となるので、(3-3a),(3-8a) と (3-4),(3-9) で g = 1 と置いたものと (3-16) により、順序数の加法と乗法について

(3-17a)  a + b =

ì ï í ï î

a ( a + g ) + 1 sup { a + g | gÎb }

( b = 0 のとき ) ( b = g + 1 のとき ) ( b が 0 でない極限順序数のとき )

(3-17b)  ab =

ì ï í ï î

0 ag + a sup { ag | gÎb }

( b = 0 のとき ) ( b = g + 1 のとき ) ( b が 0 でない極限順序数のとき )

が成り立つことがわかります。これらを用いると、g に関する超限帰納法により

(3-18a)  a £ b  Þ  a + g £ b + g

(3-18b)  a £ b  Þ  ag £ bg

がわかります。
　実際、任意の qÎg に対し、(3-18a) の g を q に置き換えた式が成り立つと仮定すると、まず g = 0 のときは明らかです。
　また g = q + 1 のときは、仮定により a + q £ b + q £ (b + q) + 1 ですから、a + q の“次の順序数”の定義により (a + q) + 1 £ (b + q) + 1 となります。
　また g が極限順序数のときは、仮定により qÎg なら a + q £ b + q ですから両辺の上限を取れば (3-18a) が成り立ちます。
　以上で超限帰納法により (3-18a) は証明されました。

　次に、任意の qÎg に対し、(3-18b) の g を q に置き換えた式が成り立つと仮定すると、まず g = 0 のときは明らかです。
　また g = q + 1 のときは、仮定により aq £ bq ですから、(3-14a),(3-18a) により aq + a £ bq + b となって (3-18b) は成り立ちます。
　また g が極限順序数のときは、仮定により qÎg なら aq £ bq ですから両辺の上限を取れば (3-18b) が成り立ちます。
　以上で超限帰納法により (3-18b) は証明されました。

　特に

(3-19a)  b = 0 + b £ a + b

(3-19b)  a ¹ 0  Þ  1 £ a  Þ  b = 1b £ ab

が成り立ちます。
　また (3-15a) により a ¹ 0 なら a + b ³ a > 0 ですから a + b ¹ 0 となり、また (3-19a) により b ¹ 0 なら a + b ³ b > 0 ですから a + b ¹ 0 となりますから、対偶を取ると、

(3-20)  a + b = 0  Þ  a = b = 0

がわかります。また、a ¹ 0 かつ b ¹ 0 なら (3-15b) により ab ³ a > 0 すなわち ab ¹ 0 ですから、対偶を取れば、

(3-21)  ab = 0  Þ ( a = 0  Ú  b = 0 )

が得られます。

　さて、(3-17) に倣い、順序数 a を固定し、ある順序数 b に対する切片 Ord_b = b を定義域とする写像 f に対し、

(3-22)  T( f ) :º

ì ï í ï î

1  f(g)a sup R( f )

( b = 0 のとき ) ( b = g + 1 のとき ) ( b が 0 でない極限順序数のとき )

と置いたとき、これにより (2-20) によって順序類 Ord 上に超限帰納的に構成される写像を順序数の冪とよび、その b における値を a^b と書いて、これを α の β 乗とよびます。ab の定義を書き直すと、

(3-23)  ab =

ì ï í ï î

1 aga sup { ag | gÎb }

( b = 0 のとき ) ( b = g + 1 のとき ) ( b が 0 でない極限順序数のとき )

となりますが、任意の順序数 a , b に対して a^b が順序数であることは b に関する超限帰納法で明らかです。また明らかに

(3-24a)  a0 = 1

(3-24b)  a1 = a0a = 1a = a

(3-24c)  a2 = a1a = aa

が成り立ちますが、(3-8) と超限帰納法により

(3-25d)  0a = 0       ( a ¹ 0 )

(3-25e)  1a = 1

が成り立つこともわかります。また、

(3-26)  a ¹ 0  Þ  ab ¹ 0

が成り立つことを b に関する超限帰納法で証明するため、gÎb  Þ  a^g ¹ 0 と仮定します。
　b = 0 なら (3-24a) により明らかです。
　また b = g + 1 と書ける場合は、gÎb なので a^g ¹ 0 、したがって これと a ¹ 0 と (3-21) により a^b = a^ga ¹ 0 が得られます。
　また b が 0 でない極限数の場合は、元 gÎb が存在し、仮定により a^g > 0 ですから a^b = sup { a^q | qÎb } ³ a^g > 0 となります。
　以上により、超限帰納法が成り立って、(3-26) が証明されました。

　次に、a > 1 のとき

(3-27)  b < g  Þ  ab < ag

が成り立つことを g に関する超限帰納法で証明するため、qÎg とし、(3-27) の g を q に置き換えたものが成り立つと仮定します。
　g = 0 ではありえないので、g = q + 1 と書かれる場合と g が 0 でない極限順序数である場合を考えれば十分です。
　まず g = q + 1 のときは、b > q と仮定すると、g は q より大きい最小の順序数なので g £ b となって矛盾するので b < q 又は b = q となります。ゆえに仮定により a^b £ a^q となりますが、(3-26) により a^q > 0 ですから、これと (3-13a),(3-14b) と 2 £ a により a^b £ a^q + 0 < a^q + a^q = a^q2 £ a^qa = a^g となり、(3-27) が成立します。
　また g が 0 でない超限順序数のときは、b < g なので b の“次の順序数”の定義により b + 1 £ g ですが、等号が成り立つと g が極限順序数であることに反するので b + 1Îg です。よって (3-26) による a^b > 0 と (3-13a) により、a^b = a^b + 0 < a^b + a^b = a^b2 £ a^ba = a^b+1 £ sup { a^q | qÎg } = a^g となって (3-27) が成立します。
　以上により超限帰納法が成立して (3-27) は証明されました。よって (3-27) と (3-25a) により

(3-28)  ( a ¹ 0  Ù  b £ g )  Þ  ab £ ag

が成り立ちます。次に

(3-29)  a £ b  Þ  ag £ bg

が成り立つことを g に関する超限帰納法で証明するため、qÎg とし、(3-29) の g を q に置き換えたものが成り立つと仮定します。
　まず g = 0 のときは、(3-24a) により両辺とも 1 ですから明らかです。
　次に g = q + 1 と書ける場合、qÎg ですから、仮定により a^q < b^q となるので、(3-14b),(3-18b) により a^g = a^qa £ b^qb = b^g となります。
　また g が 0 でない超限順序数のときは、仮定によりqÎg なら a^q £ b^g なので、両辺の上限を取れば (3-29) が得られます。
　以上で超限帰納法が成立し、(3-29) は証明されました。

　次に、順序数 a ¹ 0 と順序数からなる集合 B ¹ Æ に対し、b = sup B と置くと、(3-16) と同様に

(3-30)  sup { ag | gÎB } = ab

が成り立つことを証明します。bÎB なら (3-28) により明らかですから bÏB と仮定し、b に関する超限帰納法で証明します。
　まず b = 0 のときは、B = {0} の場合しかありえないので仮定に反します。
　次に b = q + 1 と書けるときは、仮定 bÏB により B の元 g はすべて g £ q となるので sup B £ q < b となって矛盾します。
　また b が極限数の場合は、sup B = b = sup b ですから、任意に qÎB を取ると、q < b なので、q < g となる gÎb が存在します。なぜならそうでないとすると sup b £ q < b となって矛盾するからです。ゆえに (3-28) から sup { a^q | qÎB } £ sup { a^g | gÎb } = a^b となります。
　逆に任意に gÎb を取ると、g < b なので g < q となる qÎB が存在して a^b = sup { a^s | sÎb } £ sup { a^g | gÎB } となり、(3-30) が成立します。
　以上で超限帰納法が成立し、(3-30) は証明されました。

　さて、最後に指数法則：

(3-31a)  ab+g = abag

(3-31b)  (ab)g = abg

が成り立つことを証明しましょう。まず最初に a ¹ 0 と仮定して、g に対する超限帰納法で証明します。

　最初に任意の qÎg に対して (3-31a) の g を q に置き換えた式が成り立つと仮定します。
　まず g = 0 のときは、(3-3a),(3-24a),(3-8b) により (3-31a) の両辺は共に a^b に一致するので (3-31a) は成立します。
　次に g = q + 1 と書けるときは、

(3-32a)  ab+g = ab+(q+1) = a(b+q)+1 = a(b+q)a = (abaq)a = ab(aqa) = abag

となるので (3-31a) が成り立ちます。最後に g が 0 でない極限順序数のときは、(3-16),(3-30) により

(3-32b)  ab+g = ab+supg = asup{b+q | qÎg} = sup{ ab+q | qÎg } = sup { abaq | qÎg } = ab sup { aq | qÎg } = abag

となってやはり (3-31a) が成り立ちます。以上で超限帰納法が成り立ち、a ¹ 0 の場合の (3-31a) は証明されました。

　次に任意の qÎg に対して (3-31b) の g を q に置き換えた式が成り立つと仮定します。
　まず g = 0 のときは、(3-24a),(3-8a) により (3-31b) の両辺は共に 1 となるので (3-31b) は成立します。
　次に g = q + 1 と書けるときは、

(3-33a)  (ab)g = (ab)q(ab) = abqab = abq+b = abg

となるので (3-31b) が成り立ちます。最後に g が 0 でない極限順序数のときは、(3-26) により a^b ¹ 0 ですから、(3-16),(3-30) により

(3-33b)  (ab)g = (ab)sup g = sup{ (ab)q | qÎg } = sup { abq | qÎg } = asup { bq | qÎg } = ab sup g = abg

となってやはり (3-31b) が成り立ちます。以上で超限帰納法が成り立ち、a ¹ 0 の場合の (3-31b) は証明されました。

　最後に a = 0 の場合を考えます。
　この場合、更に b = g = 0 なら (3-31a) の左辺は a⁰ = 1 、右辺は a⁰a⁰ = 1 · 1 = 1 となって (3-31a) の両辺は一致します。
　また b と g の少なくとも一方が 0 でないなら、(3-25d) により a^b と a^g の少なくとも一方が 0 なので、(3-8a),(3-8c) により (3-31a) の右辺は 0 です。またこのとき (3-20) により b + g ¹ 0 ですから、(3-25d) により (3-31a) の左辺も 0 となって、 (3-31a) の両辺は一致します。
　以上で (3-31a) は完全に証明されました。

　次に b = 0 なら、(3-24a),(3-25e) により (3-31b) の左辺は 1 、(3-8c),(3-24a) により (3-31b) の右辺も 1 となるので (3-31b) の両辺は一致します。
　また g = 0 なら、(3-24a) により (3-31b) の左辺は 1 、(3-8a),(3-24a) により (3-31b) の右辺も 1 となるので (3-31b) の両辺は一致します。
　また b も g も 0 でなければ (3-21) により bg も 0 でないので、(3-25d) により (3-31b) は両辺ともに 0 となり、(3-31b) の両辺は一致します。
　以上で (3-31b) は完全に証明されました。