集合と位相

　集合 X の部分集合からなる集合 F が

(6-1a)  ÆÏF

(6-1b)  XÎF

(6-1c)  A, BÎF  Þ  AÇBÎF

(6-1d)  ( AÎF  Ù  A Ì B )  Þ  BÎF

をすべて満たすとき、これを X 上のフィルターといい、フィルター G は、フィルター F を含むとき F より細かいといい、F と G を共に含むフィルターが存在するとき両者は共終であるというのでした（「数学の基礎」第17節参照）。

　さて、G を F より細かいフィルターとすると、G より細かいフィルターは明らかに F と共終です。ところが排中律を用いると、その逆、すなわち G より細かい任意のフィルターが F と共終なら G は F より細かいということが証明できます。
　実際、G が F より細かくない、すなわち F Ë G とすると、G に属さない F の元 A が存在します。このとき任意の BÎG に対して B Ë A です。なぜならもし B Ì A となる BÎG が存在すれば、フィルターの定義 (6-1d) により AÎG となってしまうからです。
　ゆえに任意の BÎG に対して B \ A ¹ Æ なので、集合 { B \ A | BÎG } は有限交叉的（「数学の基礎」第17節参照）です。従ってこれを含むフィルター H が存在し、これは明らかに G より細かいにもかかわらず、F と共終ではありません。なぜなら、AÎF かつ B \ AÎH で、AÇ(B \ A) = Æ ですから、F と H のいずれよりも細かいフィルターが存在すれば、それは Æ を元に持たねばならず、フィルターの条件 (6-1a) に反するからです。
　以上で証明すべき命題の対偶が証明されました。この命題を仮にフィルターの定理とよぶことにします。

　さて、一般に無限集合 S における有限集合の補集合の全体 F は S におけるフィルターになりますが、特に S が N のとき、F の点列 f : N ® X による二重逆像 f_#F を、点列 f に伴う点列フィルターとよぶことにします。

　もし X のフィルター F が可算基底を持つ、すなわちある有限交叉的で高々可算な集合 G が存在して F = fil G と書けるならば、F はそれより細かい点列フィルター全体の共分になることが証明できます。
　実際、F より細かい点列フィルター全体の共分を H とするとき、H Ì F を証明すれば十分です。そこで任意に BÏF を取ります。F = fil { A_i | iÎN } と書けますから、任意の nÎN に対して Ç{ A_i | i £ n } Ë B が成立します。 よって a_nÎÇ{ A_i | i £ n } \ B を取り、点列 { a_i | iÎN } に伴う点列フィルターを G と書けば、{ a_n | n ³ i } Ì A_i ですから F Ì G で、{ a_i | iÎN }Ç B = Æ ですから BÏG です。H Ì G ですからこれは BÏH を意味します。

　X 上のフィルターは、それより真に細かいフィルターが存在しないとき超フィルターといいます。

　超フィルター F と共終なフィルター G は、そのいずれよりも細かいフィルター H を持ちますが、F の極大性により実は H = F です。すなわち超フィルター F と共終なフィルターは F より粗いことがわかります。

　さて、F が X 上の超フィルターならば、

(6-2)  ( "BÎF : AÇB ¹ Æ )  Þ  AÎF

が成り立ちます。実際、(6-2) の左辺は集合 {A} の生成するフィルター G が F と共終であることを意味していますが、F は超フィルターなので、実は G Ì F となり、AÎG Ì F が得られます。

　次に、X 上のフィルター F が (6-2) を満たせば

(6-3)  AÈBÎF   Þ  ( AÎF  Ú  BÎF )

が成り立ちます。実際、(6-3) が成り立たないと仮定すると、A, BÏF となるので、(6-2) の対偶により AÇC = BÇD = Æ となる C, DÎF が存在します。ところがフィルターの性質 (6-1c) により Æ = (AÇCÇD)È(BÇCÇD) = (AÈB)ÇCÇDÎF となって (6-1a) に反します。

　また、X 上のフィルター F が (6-3) を満たせば

(6-4)  AÎF   Ú   X \ AÎF

が成り立ちます。実際、B = X \ A と置けば、フィルターの条件 (6-1b) により AÈB = XÎF ですから (6-3) の左辺が成り立ち、(6-3) の右辺から結論が得られます。

　最後に X 上のフィルター F が (6-4) を満たせば F は超フィルターであることを証明しましょう。
　G を F より細かいフィルターとし、任意に AÎG を取ります。X \ AÎF と仮定すると F Ì G ですから X \ AÎG となって、フィルターの性質 (6-1c) により Æ = AÇ(X \ A)ÎG となって、フィルターの条件 (6-1a) に反します。
　すなわち X \ AÏF ですから、仮定 (6-4) により AÎF となります。これは G Ì F を意味していますから、F は極大、すなわち超フィルターです。

　以上により、F が超フィルターであることと、各条件 (6-2) , (6-3) , (6-4) はすべて同値であることがわかりました。

　さて、集合 X 上のフィルター全体からなる集合 Fil X は包含関係を順序とする順序集合ですが、任意の FÎFil X に対し、F を元に持つ任意の全順序部分集合 T  を取ると、ÈT  は明らかに (6-1) の全条件を満たすのでフィルターで、T の上界になっています。ゆえにZornの補題により、Fil X は F より細かい極大元、すなわち超フィルターを持ちます。
　すなわち任意のフィルターに対してそれより細かい超フィルターが存在することがわかります（超フィルターの定理）。

　さて、F を X 上のフィルターとするとき、F より細かい超フィルターの全体を Φ と書くと、F = ÇΦ  が成り立ちます。
　実際、任意の GÎΦ は F より細かいので F Ì ÇΦ は明らかです。
　一方、F より細かい任意のフィルター G に対し、超フィルターの定理により G より細かい超フィルター H が存在し、Φ に属します。H は ÇΦ より細かいので、G と ÇΦ は共終です。ゆえにフィルターの定理により、F は ÇΦ より細かいことがわかり、従って両者は一致します。

　すなわち任意のフィルターは、それより細かいすべての超フィルターの下限であることがわかりました。

　次に f を集合 X から Y への写像、F を X 上の超フィルターとします。このとき F の f による二重逆像 f_#F （「数学の基礎」第17節 (17-3) の直前参照）も超フィルターです。
　実際、X の任意の部分集合 A に対し、F が超フィルターであることと (6-4) により f ^-(A)ÎF  又は f ^-(X \ A) = X \ f ^-(A)ÎF  が成り立ちますが、これは AÎf_#F  又は X \ AÎf_#F  であることを示しており、再び (6-4) により f_#F は超フィルターです。

　さて、集合 X と X 上のフィルター F の組 ( X, F ) を対象と呼び、２つの対象 ( X, F ) , ( Y, G ) に対して写像 f : X ® Y で G Ì f_#F を満たすものを射とよべば、明らかに一つの圏が定まります。これをフィルターの圏といいます。この圏では、対象の任意の族 { ( X_i , F_i ) | iÎI } の積 ( X, F ) が存在して

(6-5a)  X = Õ{ Xi | iÎI }

(6-5b)  F = fil { pi-(A) | iÎI  Ù  AÎFi }

で与えられます。ただし Õ は集合の圏における積を表わし、p_i : X ® X_i は標準写像です。
　実際、AÎF_i なら p_i^-(A)ÎF 、すなわち F_i Ì p_i#F ですから p_i はフィルターの圏の射になります。
　また、別の対象 ( Y, G ) と射の族 { f_i : Y ® X_i | iÎI } に対し、X は集合の圏における { X_i | iÎI } の積ですから、写像 f : Y ® X_i が存在して f_i = p_{i °} f となり、f_i : Y ® X_i はフィルターの圏の射ですから F_i Ì f_i#G すなわち AÎF_i なら f ^-(p_i^-(A)) = f_i^-(A)ÎG すなわち p_i^-(A)Î f_#G となります。
　これは、F Ì f_#G を意味するので、各 f_i はフィルターの圏の射になります。また f の一意性は、集合の圏における一意性により明らかです。以上で ( X, F ) がフィルターの圏における { ( X_i , F_i ) | iÎI } の積になっていることがわかりました。
　特に ( X, F ) と ( Y, G ) のフィルターの圏における積は、F ÏG = { A ´ B | AÎF , BÎG } と置くと ( X ´ Y, F ÏG ) で与えられます（「数学の基礎」第18節参照）。