集合と位相

　f を位相空間 X から位相空間 Y への写像とし、次の３つの条件を考えます：

(9-1a)	X のフィルター F の f による像が集積点 yÎY を持てば、F は f(x) = y となる集積点 xÎX を持つ。
(9-1b)	X のフィルター F の f による像がある点 yÎY に収束すれば、F は f(x) = y となる集積点 xÎX を持つ。
(9-1c)	X の超フィルター F の f による像がある点 yÎY に収束すれば、F は f(x) = y となる点 xÎX に収束する。

　まず明らかに (9-1a) なら (9-1b) です。また、超フィルターが集積点を持てばその点に収束するので (9-1b) なら (9-1c) です。
　最後に (9-1c) が成り立つと仮定し、F を f による像が集積点 yÎY を持つような任意のフィルターとすると、y の近傍フィルターの f による逆像と F は、それぞれの元が交わるので共終、従ってそれらより細かい超フィルター G が存在し、G はその像が y の近傍フィルターより細かいので y に収束し、従って G は f(x) = y となる xÎX に収束し、従ってそれより粗いフィルター F は x に集積するので、(9-1a) が成り立ちます。

　以上で互いに同値であることがわかった (9-1a)~(9-1c) のいずれかを満たす写像 f を固有写像といいます。

　さて、特に f : X ® Y が連続 で、Y がHausdorff空間である場合は、f が固有写像であるための条件は次のように言い換えられます：

(9-2a)	X のフィルター F の f による像が集積点を持てば、F も集積点を持つ。
(9-2b)	X のフィルター F の f による像が収束すれば、F は集積点を持つ。
(9-2c)	X の超フィルター F の f による像が収束すれば、F も収束する。

　実際、(9-1a) Þ (9-2a) Þ (9-2b) Þ (9-2c) は明らかですから、(9-2c) Þ (9-1c) を示せば十分ですが、f による超フィルター F の像が y に収束したとし、F の極限を x とすると、f は連続なので、F の f による像は f(x) に収束しますが、Y はHausdorffなので、f(x) と y は一致するからです。

　さて、ここで一般の固有写像の別の特徴付けについて考えます。

　まず、固有写像は閉写像です。
　実際、F を X の任意の閉集合とし、任意に yÎ f [F] をとります。y の近傍フィルター V ( y) は f [F] と交わるので、{ f ^-(V )ÇF | VÎV ( y) } は X のフィルター基底になります。ゆえにそれが生成するフィルターを F と置けば、その f による像は y の近傍フィルターより細いので y に収束します。
　よって f が固有写像であることにより、F は y = f(x) となる xÎX に収束し、FÎF で F は閉ですから xÎF です。これは yÎf [F] を意味しますから、f [F] は閉集合であることがわかり、F の任意性により f は閉写像であることがわかりました。
　特に、固有写像の値域は閉集合です。

　また、固有写像によるコンパクト集合の逆像はコンパクトです。
　実際、f : X ® Y を固有写像とし、K を Y のコンパクト集合、F を f ^-(K ) の超フィルターとします。すると、F の f による像はコンパクト集合 K の超フィルターの基底ですから、ある点 yÎK に収束します。ゆえに f が固有写像であることから F も f(x) = y となる xÎX に収束し、xÎf ^-(K ) ですから、これは f ^-(K ) がコンパクトであることを意味しています。
　特に、固有写像による一点集合の逆像はコンパクトです。

　また、逆に X から Y への写像は、閉写像であって、一点集合の逆像がコンパクトなら、固有写像です。
　実際、f : X ® Y を、閉写像であって、一点集合の逆像がコンパクトであるような写像とし、F を、その f による像が yÎY に収束する X のフィルターとします。任意の AÎF に対して yÎ f [A] であり、f は閉写像ですから f [A] Ì f [A] となります。つまり yÎ f [A] ですから、A はコンパクト集合 f ^-({ y}) と交わります。ゆえにフィルター基底 { A | AÎF } は f ^-({ y}) の元 x を集積点に持ち、これは F が f(x) = y となる x を集積点に持つことを意味しています。

　以上により、特に f が単射の場合、f が固有写像であるためには、f が閉写像であること、言い換えれば f [X ] が Y の閉集合で f ^-1 : f [X ] ® X が連続であることが必要十分であることがわかります。

　また、逆の極端なケースとして、Y が一点からなる集合の場合、f が閉写像であることは自明ですから、f が固有写像であることと X がコンパクトであることが同値になります。

　さて、２つの写像 f : X ® Y , g : Y ® Z を考えます。

　f と g が共に固有写像なら、それらの合成写像 g _° f は固有写像です。
　実際、X の閉集合 F の g _° f による像 g[ f [F]] は、f , g が共に閉写像なので閉集合であり、g _° f による一点集合 {z} Ì Z の逆像 f ^-(g^-({z})) は g^-({z}) がコンパクト集合なのでコンパクトです。

　また f が連続な全射、g _° f が固有写像なら g も固有写像です。
　実際、Y の閉集合 F に対し、f は連続なので f ^-(F ) は X の閉集合ですが、f は全射なので g[F] = (g _° f )[ f ^-(F )] が成り立ち、これは閉集合です。また、一点集合 {z} Ì Z に対し、(g _° f )^-({z}) はコンパクトで、f は全射ですから g^-({z}) = f [(g _° f )^-({z})] となりますが、f は連続なので、これはコンパクト集合の連続像としてコンパクトです。

　また g が連続な単射、g _° f が固有写像なら f も固有写像です。
　実際、X の閉集合 F に対し、(g _° f )[F] は閉集合ですが、g は単射なので f [F] = g^-((g _° f )[F]) が成り立ち、g は連続なので、これは Y の閉集合です。また、一点集合 { y} Ì Y に対し、g は単射なので f ^-({ y}) = (g _° f )^-({g( y)}) が成り立ち、g _° f は固有写像なので、これは X のコンパクト集合です。

　また Y がHausdorffで f と g が共に連続の場合は、g _° f が固有写像なら f も固有写像です。
　実際、X の超フィルター F の f による像が収束すると仮定すると、g は連続ですから、その像、すなわち F の g _° f による像も収束します。ゆえに g _° f が固有写像であることから F は収束し、f が連続で Y がHausdorffの場合の注意により f は固有写像であることがわかります。

　次に、{ f_i : X_i ® Y_i | iÎI } を固有写像の族とすれば、f((x_i )_iÎI ) :º ( f_i(x_i ))_iÎI で定義される X :º Õ{ X_i | iÎI } から Y :º Õ{ Y_i | iÎI } への写像 f も固有写像であることを証明しましょう。
　F を X の超フィルターで、その f による像 G が y :º ( y_i )_iÎI に収束するものとします。標準写像 p_i : X ® X_i による F の像を F_i とすると、これは超フィルターの基底であり、それの f_i による像 G_i は、標準写像 q_i : Y ® Y_i による G の像に他なりません。
　ところが G は y に収束するので、その連続像 G_i は y_i に収束します。ところが f_i は固有写像ですから F_i は y_i = f_i(x_i ) となる x_iÎX_i に収束し、これは F が x :º (x_i )_iÎI に収束することを意味しています。また明らかに y = f(x) ですから、これで f が固有写像であることが証明されました。

　さて、この“写像の積について閉じている”という固有写像の性質は、ある意味で固有写像を特徴付けています。正確にいうと、写像 f : X ® Y は、任意の位相空間 Z に対して ( f ´ id_Z )(x, z) :º ( f(x), z) で定義される写像 f ´ id_Z : X ´ Z ® Y ´ Z が閉写像なら固有写像であることが証明できます。
　実際、Z として一点からなる集合を取ることにより、まず f が閉写像であることがわかります。
　ゆえに、あとは任意の yÎY に対し、K :º f ^-({ y}) がコンパクトであることを示せば十分です。そこで任意の位相空間 Z に対し、j :º ( f ´ id_Z )|_{K ´ Z} と置き、F を K ´ Z の閉集合とすると、X ´ Z の閉集合 F' が存在して F = F'Ç(K ´ Z ) と書け、j[F] = ( f ´ id_Z )[F' ]Ç({ y} ´ Z ) は { y} ´ Z の閉集合です。一方 { y} ´ Z と Z を同一視すると、j は K ´ Z から Z への射影 p に他なりませんから、これは p が閉写像であることを意味しています。ゆえに前節 (8-4a) と (8-4d) の同値性により、K はコンパクトです。

　さて、次に位相空間 Y の局所有限閉被覆 C 又は È{ C° | CÎC } = Y を満たす Y の被覆 C が与えられたとします。また、f : X ® Y と各 CÎC に対し、xÎ f ^-(C) に対して f(x) を対応させる f ^-(C) から C への写像を f_C と書くことにします。このとき、各 f_C が固有写像なら f も固有写像です。
　実際、C はいずれの場合でも Y の被覆になっているので、Y の一点集合の f による逆像はコンパクトです。
　よって、F を X の閉集合とするとき、f [F] = È{ f_C[FÇ f ^-(C) ] | CÎC } = È{ f [F]ÇC | CÎC } が Y の閉集合であることを示せば十分です。
　各 f_C が固有写像、従って閉写像であることから、f [F]ÇC は C の閉集合です。そこで任意に yÎY \ f [F] を取ります。
　C が Y の局所有限閉被覆の場合は、y の開近傍 U で UÇC ¹ Æ となる CÎC の全体 C ' が有限集合になるようなものを取ります。一方 C が閉集合なので、f [F]ÇC は Y の閉集合ですから V :º Ç{ U \ ( f [F]ÇC) | CÎC ' } は f [F] と交わらない y の開近傍です。
　また、C が È{ C° | CÎC } = Y を満たしている場合は、y の開近傍 U を、ある CÎC に含まれるように取ります。このとき f [F]ÇU は U の閉集合です。言い換えると、V :º U \  f [F] は U の開集合で、U は Y の開集合ですから V は f [F] と交わらない y の開近傍です。
　よって、いずれの場合でも y の任意性により、f [F] が Y の閉集合であることがわかりました。

　さて、この結果を用いて、Y が局所コンパクト、f : X ® Y のグラフが閉集合の場合、Y の任意のコンパクト集合の f による逆像がコンパクトなら f は固有写像であることを証明しましょう。
　Y のコンパクト集合の全体を C と置くと、Y が局所コンパクトであることから È{ C° | CÎC } = Y が成り立ちます。ゆえに各 f_C ( CÎC ) が固有写像であることを示せば十分です。
　まず、C はコンパクトですから、f に対する仮定により f_C の定義域である f ^-(C) はコンパクト集合です。ゆえに f ^-(C) の閉集合 F を任意に取ると、これはコンパクト集合の閉部分集合なのでコンパクトです。しかも f_C のグラフは閉集合で C はHausdorff ですから、第８節の議論により f [F] は C の閉集合です。以上で f_C は閉写像であることがわかりました。
　また、C の一点集合はコンパクトですから、それの f_C による逆像、すなわち f による逆像はコンパクトです。以上で f_C が固有写像であることがわかり、証明は完成しました。