集合と位相

　自然数の集合 N は、濃度の加法と乗法に関して単位元を持ち、結合律、交換律、分配律を満たすので（第５節参照）、単位的モノイド環（「数学の基礎」第14節参照）ですが、それに伴う単位的可換環の普遍構造 Z = { ± n | nÎ N } の元を整数とよぶのでした（「数学の基礎」第15節参照）。
　また、環 Z は整域（「数学の基礎」第15節参照）なので、それに伴う商体 Q = { n/m | n, mÎZ ; m ¹ 0 } の元を有理数とよぶのでした。
　また、Q は、順序に関する区間で近傍系を導入することにより位相環（「数学の基礎」第22節参照）になるので、一様空間とみなすことができ、その完備化 R の元を実数とよぶのでした（「数学の基礎」第23節参照）。

　さて、古典論理のもとでは、「数学の基礎」第23節 (23-12),(23-16f) と排中律により、任意の実数 x , h に対して

(11-1)  x < h  Ú  x = h  Ú  x > h

が成り立ち、しかも同 (23-12),(23-15a) により、これらは背反であることがわかります。従ってこれと同 (23-13) により

(11-2a)  x £ h  Û  ( x = h  Ú  x < h )

(11-2a)  x ³ h  Û  ( x = h  Ú  x > h )

が成り立ちます。
　ゆえにこれらと「数学の基礎」第23節 (23-16l),(23-16k),(23-17a),(23-24i) により、古典論理のもとでは R は「数学の基礎」第15節 (15-32) を満たすので順序環です。しかも R は体ですから（「数学の基礎」第23節参照）、R は順序体であることがわかります。

　さて、R のコンパクト集合は最大値と最小値を持つのでした（「数学の基礎」第24節参照）。更に本稿がベースにしている古典論理では、位相空間の有限部分集合はコンパクトですから、特に実数の有限集合は最大値と最小値を持ちます。

　また古典論理では、一様空間のすべての部分集合は可視的（「数学の基礎」第20節参照）ですから、R の上（下）に有界な空でない任意の部分集合は上限（下限）を持ちます（「数学の基礎」第24節参照）。

　このことから、任意の上半拡張実数（「数学の基礎」第25節参照）は、実数であるか、± ¥ であるかのいずれかであることが証明できます。
　実際、a = ((a⁺)^e, a⁺ ) を拡張実数とすると、排中律により、a⁺ = R 又は a⁺ ¹ R です。前者の場合は a = - ¥ です。後者の場合は a⁺ に属さない有理数 r が存在しますが、$sÎa⁺ : r > s と仮定すると「数学の基礎」第25節 (25-1c) により rÎa⁺ となって矛盾するので "sÎa⁺ : r £ s 、すなわち a⁺ は下に有界です。
　また、再度排中律により a⁺ = Æ 又は a⁺ ¹ Æ です。前者なら (a⁺ )^e = R となるので a = ¥ です。後者なら a⁺ は元を持つ下に有界な R の部分集合なので、下限 aÎR を持ちます。 ゆえに「数学の基礎」第25節 (25-1c),(25-1d) により、r > a  Û  $sÎa⁺ r > s  Û  rÎa⁺ なので a⁺ = { rÎQ | r > a } であり、(a⁺ )^e = { rÎQ | r £ a }° = { rÎQ | r < a } ですから、これは a = a を意味します。

　以上の結果によれば、上半拡張実数からなる任意の集合 A の上限と下限は上半拡張実数であることがわかります。
　実際、下限の定義により、A = Æ 又は A = { ¥ } なら inf A = ¥ であり、AÇR が R で下に有界でないか - ¥ÎA であれば inf A = - ¥ であり、それ以外の場合、すなわち AÇR ¹ Æ で - ¥ÏA で、AÇR が R で下に有界なら inf A = inf (AÇR)ÎR です。上限についても同様です。

　また、上半拡張実数 a と b の上半和（「数学の基礎」第25節参照）は、一方が ± ¥ でない限り通常の実数の和です。また、「数学の基礎」第25節 (25-29a) により、一方が ¥ なら、その上半和は ¥ 、一方が - ¥ 、他方が実数又は - ¥ なら、その上半和は - ¥ であることがわかります。

　一方、古典論理のもとでは、強い上限（下限）（「数学の基礎」第24節参照）と上限（下限）は意味が同じであり、部分集合に対して常に上限と下限の存在が保障されていれば十分なのですから、わざわざ拡張実数を考える必要がなく、上半拡張実数のみを考えれば十分です。そこで、以後上半拡張実数のことを単に拡張実数とよんで R と書き、上半拡張実数の上半和を単に + と書くことにします。

　さて、任意の一様空間 X は、ある擬距離、すなわち X ² で定義された非負上半拡張実数値関数 d で、次の性質：

(11-3a)  d(x, x) = 0

(11-3b)  d(x, y) = d( y, x)

(11-3c)  d(x, z) £ d(x, y) + d( y, z)

を満たすものの族 D によって定まる一様構造 fil { {(x, y)ÎX ² | d(x, y) £ e } | dÎD , e > 0 } に一致するのでした（「数学の基礎」第26節参照）。
　これらの擬距離は実数又は ¥ の値を取りますが、次のようにして、¥ の値を取ることを防ぐことができます。擬距離 d に対し、これが実数値と取るところでは d' を「数学の基礎」第26節 (26-17) で定義し、値 ¥ を取るところでは 1 と置けば、d(x, y) と d( y, z) のどちらかが ¥ のときでも (11-3c) が成り立つことがわかります。
　すなわち一様構造が可算基底を持つことと距離空間、すなわち単独の実数値擬距離の定める一様空間であることは同値になります。なお、今後距離空間というときには、

(11-4)  d(x, y) = 0  Þ  x = y

が成り立つことを条件に加えることにします。すなわち距離空間はHausdorffです。

　なお、距離空間の可算個の積は距離空間であり、可分な距離空間の任意の部分集合は可分です（「数学の基礎」第26節参照）。また、距離の付くプレコンパクトな空間は可分です（「数学の基礎」第20節参照）。
　更に、距離空間については第二可算公理を満たすことと可分であることは同値です。
　実際、必要性は明らかなので十分性を証明します。S を X で稠密な可算集合とすると、m, nÎN に対する O_mn :º { xÎX | d(x, a_m ) < 1/n } の全体は X の開基になります。

　さて次に、位相空間の完全正則性（第９節参照）を、実数を用いて特徴づけてみましょう。
　完全正則空間 X は、その位相がある一様構造の定める位相に一致しますが、「数学の基礎」第26節 (26-39) により、任意の aÎX と a の任意の近傍 V に対し、a で 0 、V 以外で 1 を取り、0 £ f(x) £ 1 となる上半拡張実数値（したがって実数値）の連続関数 f が存在します。

　逆に T₁-位相空間 X がこの条件を満たすとします。X 上の実数値連続関数の全体を F と書き、各 fÎF に対し、

(11-5)  df (x, y) :º |  f(x) - f( y) |

と置けば、d_f は明らかに実数値の擬距離になります。また、任意の aÎX と a の任意の近傍 V に対し、上記の条件を満たす f を取れば、fÎF で d_f (a, x) < 1  Þ  |  f(x) | < 1  Þ  xÎV となり、これは { d_f  | fÎF } の定める一様構造が定める位相が X の位相と一致することを意味し、X は完全正則であることがわかります。

　さて、X を完全正則空間とし、X で定義され、実数の区間 I :º [0, 1] に値を持つ連続関数の全体を F と書き、集合 I ^F に積位相を入れると、これはコンパクト空間になります。そこで xÎX と fÎF に対して i_x( f ) = f(x) と置けば、i_x は F から I への写像、すなわち i_xÎI ^F ですが、x に i_x を対応させる写像 i は X からその値域への位相同型です。
　実際、まず一対一であることの証明ですが、x, yÎX を相異なる点とすると、y は閉集合 {x} と交わらないので f(x) = 1 , f( y) = 0 となる fÎF が存在し、これは i_x ¹ i_y を意味するので、i は一対一です。
　また、各 fÎF の連続性により、i は連続です。
　逆に、任意の aÎX と a の任意の近傍 U を取ると、f(a) = 0 と f(x) < 1 Þ xÎU を満たす fÎF が存在します。そこで V :º { sÎI ^F | s( f ) < 1 } と置けば、これは i_a の近傍で、i_xÎV なら xÎU となります。
　以上で i は X からコンパクト空間 I ^F の部分空間 i[X ] への位相同型であることがわかりました。すなわち位相空間が完全正則空間であるための必要十分条件は、あるコンパクトHausdorff空間の部分空間と位相同型であることです。
　上で構成した i[X ] のコンパクト空間 I ^F における閉包はコンパクト空間の閉部分集合としてコンパクトですが、これを完全正則空間 X のČechのコンパクト化といいます。

　次は位相空間の正規性（第７節参照）の実数による特徴づけです。Hausdorff位相空間 X について、次の各条件：

(11-6a)	X は正規。
(11-6b)	X の閉集合 F とそれを含む開集合 O に対し、F Ì G Ì G Ì O となる開集合 G が存在する。
(11-6c)	X の互いに交わらない２つの閉集合 A , B に対し、A 上 0 、B 上 1 となる連続な実数値関数 f : X ® [0, 1] が存在する。
(11-6d)	X の閉集合 F で定義された連続な実数値関数 f : F ® [a, b] は、X 上のある連続な実数値関数 g : X ® [a, b] に拡張できる。

は同値であることを証明しましょう。

　まず (11-6d) Þ (11-6c) ですが、F :º AÈB は閉集合で、しかも A 上で 0 、B 上で 1 と定義した F 上の関数 j は、任意の集合の逆像が Æ , A , B , AÈB のいずれかであり、これらはすべて閉ですから連続です。よってこれは X 全体で定義された [0, 1] 値の連続関数 f に拡張できます。

　次に (11-6c) Þ (11-6a) ですが、X の互いに交わらない２つの閉集合 A , B に対し、(11-6c) を満たす f を取ると、f は連続で { tÎR | t < 1/2 } と { tÎR | t > 1/2 } は R の開集合ですから、O :º { xÎX | f(x) < 1/2 } と O' :º { xÎX | f(x) > 1/2 } は開集合で、A Ì O , B Ì O' , OÇO' = Æ となります。

　次に (11-6a) Þ (11-6b) ですが、F と X \ O は互いに交わらない閉集合ですから、F Ì G かつ X \ O Ì G' となる互いに交わらない開集合 G と G' が存在します。このとき X \ G' は G を含む閉集合ですから、F Ì G Ì G Ì X \ G' Ì O となります。

　ゆえに、あとは (11-6b) Þ (11-6d) を示せば証明は完成します。
　そこで、S_k = { a + 2^-kq(b - a) | qÎN ; q £ 2^k } , S = È{ S_k | kÎN } に対する X の開集合の族 { O_s | sÎS } を、次の条件：

(11-7a)  Oa = Æ

(11-7b)  Ob = X

(11-7c)  s < t  Þ  Os Ì Ot

(11-7d)  {  f < s } Ì Os

(11-7e)  {  f > s } Ç Os = Æ

を満たすように構成しましょう。ただし {  f < s } は { xÎF |  f(x) < s } の略で、他も同様です。
　まず、k = 0 に対しては、(11-7a),(11-7b) と置けば、これですべて定義したことになります。
　あとは、k に関する帰納法により、{ O_s | sÎS_k } が構成できたと仮定して { O_s | sÎS_k+1 } を構成すればよく、そのためには、隣り合う s, tÎS_k に対して r = (s + t)/2 と置いて、O_r を構成すれば十分です。
　そこで、開集合列 { G_n | nÎN } と { G'_n | nÎN } を

(11-8a)  G0 = Os

(11-8b)  G'0 = Ot

(11-8c)  Gn Ì G'n \ {  f  ³ r }       ( n ³ 0 )

(11-8d)  {  f £ r } Ì G'n       ( n ³ 0 )

(11-8e)  Gn-1 È{  f £ r - 1/n } Ì Gn Ì Gn Ì G'n-1 \ {  f  ³ r }       ( n ³ 1 )

(11-8f)  Gn È{  f £ r } Ì G'n Ì G'n Ì G'n-1 \ {  f  ³ r + 1/n }       ( n ³ 1 )

が成り立つように構成します。これが可能であることは以下のようにして確かめられます。
　まず n = 0 のときは、(11-8a),(11-8b) と置くと、(11-7c),(11-7e) により (11-8c) が、(11-7d) により (11-8d) が成り立ちます。
　次に G_i と G'_i が i < n まで構成できたとします。n - 1 に対して (11-8c),(11-8d) が成り立つので、(11-8e) の左辺は右辺に含まれます。しかも左辺は閉集合、右辺は開集合なので、(11-6b) の仮定により (11-8e) を満たす開集合 G_n が存在します。
　また (11-8e) と n - 1 に対する (11-8d) により、(11-8f) の左辺は右辺に含まれます。しかも左辺は閉集合、右辺は開集合なので、(11-6b) の仮定により (11-8f) を満たす開集合 G'_n が存在します。
　更に、(11-8e),(11-8f) により、(11-8c),(11-8d) が成り立つこともわかり、これらの開集合列の存在は証明されました。ゆえに

(11-9a)  Or :º È{ Gn | nÎN }

(11-9b)  Fr :º Ç{ G'n | nÎN }

と置けば、前者は開集合、後者は閉集合です。また任意の i , j に対して n = max {i, j} と置けば、(11-8e),(11-8f) により G_n は増加列、G'_n は減少列ですから

(11-10)  Gi Ì Gn Ì G'n Ì Gj

となるので O_r Ì F_r すなわち O_r Ì F_r がわかります。ゆえにこれと (11-9),(11-8e),(11-8f) により

(11-11a)  Os = G0 Ì G1 Ì Or Ì Or Ì Fr Ì G'1 Ì G'0 = Ot

(11-11b)  {  f < r } = È{ {  f £ r - 1/n } | n ³ 1 } Ì È{ Gn | n ³ 1 } = Or

(11-11c)  {  f > r } Ç Or Ì ( È{ {  f  ³ r + 1/n } | n ³ 1 } ) Ç Fr Ì È{ {  f  ³ r + 1/n }ÇG'n | n ³ 1 } = Æ

となり、任意の rÎS_n に対して (11-7) を満たすように O_r を構成することができました。そこで

(11-12)  g(x) = inf { sÎS | xÎOs }

と定義すれば、(11-7a),(11-7b),(11-7c) により a £ g(x) £ b となります。
　また xÎF , sÎS のとき、f(x) < s なら (11-7d),(11-12) により g(x) £ s となり、f(x) > s なら (11-7e),(11-12) により g(x) ³ s となるので、S の [a, b] における稠密性により g(x) = f(x) がわかり、これは F 上で g = f である、言い換えると g が f の拡張になっていることがわかります。
　更に、a £ a < b £ b であるような任意の実数 a , b に対し、(11-7c),(11-12) により

(11-13a)  g(x) < b  Û  xÎO(b) :º È{ Os | sÎS  Ù  s < b }

(11-13b)  g(x) £ a  Û  xÎF(a) :º Ç{ Os | sÎS  Ù  s > a } = Ç{ Os | sÎS  Ù  s > a }

となり、O(b) は開集合、F(a) は閉集合ですから、g による開区間の逆像

(11-14)  g -( ] a, b [ ) = O(b) \ F(a)

は開集合で、従って g は連続になります。以上で (11-6b) Þ (11-6d) の証明が完成し、(11-6) の各項の同値性は証明されました。正規空間が (11-6c) を満たすことをUrysohnの定理、(11-6d) を満たすことをTietzeの拡張定理とよぶことがあります。

　さて、R の各点 a に対し、V (a) :º fil { [a, a + e [ | e > 0 } と置くと、[a, b[ÎV (x)  Û  a £ x < b  Û  xÎ[a, b[ ですから、これは (7-2) を満たし、R 上の位相を定めます。この位相を入れた R から位相空間 Y への写像 f が連続なとき、f は右連続であるといいます。
　同様に、R の各点 a に対し、V (a) :º fil { ]a - e , a] | e > 0 } も位相を定めますが、f がこの位相で連続なとき左連続であるといいます。
　これらの位相は R の通常の位相より強いので、連続写像は右（左）連続です。

　また、O :º {Æ, R }È{ ]a, ® [ | aÎR } と置くと、これは (7-1) を満たし、R 上の位相を定めます。位相空間 X からこの位相を入れた R への写像 g が連続なとき、g は下半連続であるといいます。
　同様に、O :º {Æ, R }È{ ]¬, a[ | aÎR } と置くと、これも R 上の位相を定めますが、g がこの位相で連続なとき上半連続であるといいます。
　これらの位相による R の導入位相は R の通常の位相より弱いので、R への連続写像は下（上）半連続です。

　さて、次に距離空間はパラコンパクトであることを証明しましょう。
　距離空間は完全正則で、特に正則ですから、第８節の終りの方の注意により、任意の開被覆に対し、それより細かい局所有限被覆が存在することを示せば十分です。
　O :º { O_i | iÎI } を距離空間 ( X, d ) の任意の開被覆とします。I に整列順序を入れ、各 iÎI と正整数 k に対して

(11-15)  Oi, k :º { xÎX | dist(x, X \ Oi) > 2-k }

(11-16)  Ai, k :º Oi, k \ È{ Oj | j < i }

(11-17)  Gi, k :º { xÎX | dist(x, Ai, k ) < 2-k-2 }

と置くと、{ O_{i, k} | kÎN } は開集合の単調増加列で、合併が O_i に一致し、A_{i, k} Ì O_{i, k} ですから A_{i, k} Ì G_{i, k} Ì O_{i, k} Ì O_i です。
　さて、任意の xÎX に対し、O は開被覆なので、xÎO_i となる最小の iÎI が存在します。このとき xÏÈ{ O_j | j < i } であり、xÎO_{i, k} となる k が存在し、xÎA_{i, k} したがって xÎG_{i, k} となります。すなわち G_k :º { G_{i, k} | iÎI } と置くと、È{ G_k | kÎN } は O より細かい X の開被覆です。
　一方、任意に相異なる i, jÎI を取ると、i < j 又は j < i となります。どちらでも同じですから後者が成り立つとします。このとき xÎA_{i, k} と yÎA_{j, k} を取ると、xÎX \ O_j , yÎO_{j, k} ですから d(x, y) > 2^-k となり、dist (A_{i, k} , A_{j, k} ) ³ 2^-k 従って dist (G_{i, k} , G_{j, k} ) ³ 2^-k-1 となります。
　ゆえに任意の xÎX に対し、x の 2^-k-2 近傍 U を取れば、U が G_k の２個以上の元と交わることはありません。すなわち G_k は局所有限な開集合族です。
　そこで、各 kÎN に対し、X_k :º È{ ÈG_l | l < k } と置くと、{ X_k | kÎN } は開集合の単調増加列で、その合併は X に一致します。
　ここで A_k :º { O \ X_k-1 | OÎG_k } , A :º È{ A_k | kÎN } と置きます。以下、この A が O より細かい局所有限被覆であることを確かめましょう。
　まず、任意の xÎX に対し、xÎX_k となる最小の k を取ると、xÏX_k-1 ですから、l < k なら xÏÈG_l 従って xÎÈG_k 従って xÎÈA_k ですから、A は X の被覆です。
　また、各 G_k は O より細かく、A_k は G_k より細かいので、A_k は O より細かい被覆です。よって後は A_k が局所有限であることを示せば証明は完成します。
　任意の xÎX に対し、xÎX_k となる最小の k を取ると、È{ G_l | l < k } は局所有限ですから È{ A_l | l < k } も局所有限で、従って x の近傍 U で、この集合族の元とは有限個しか交わらないものが存在します。一方 X_k は x を元に持つ開集合ですから、U を X_k に含まれるように取ることができます。このとき l > k なら A_l の元と U は交わりません。これは A が局所有限であることを意味しています。

　以上により、（距離空間 or コンパクト空間） Þ  パラコンパクト空間  Þ  正規空間  Þ  完全正則空間  Þ  正則空間  Þ  Hausdorff空間 の関係があることがわかりました。

　位相空間 X は、その位相が X 上のある距離が与える位相に一致するとき距離が付くといいます。
　この節の最後に、第二可算公理を満たす正則空間は距離が付くことを証明しましょう。
　既に第７節で、第二可算公理を満たせばLindelöf空間であり、第８節で正則なLindelöf空間はパラコンパクトで、従って正規であることがわかっていますから、第二可算公理を満たす正規空間は距離が付くことを示せば十分です。
　{ O_k | kÎN } を正規空間 X の可算開基とし、O_i Ì O_j を満たす組 (i, j)ÎN² の全体を I と書きます。Urysohnの定理 (11-6c) により、各 (i, j)ÎI に対し、O_i 上で 0 、X \ O_j 上で 1 となる [0, 1] 値の連続関数 f_ij が存在します。そこで、H :º [0, 1]^I と置いて積位相を入れると、これは可分な距離空間の可算個の積ですから可分な距離空間です。
　次に X から H への写像 f を f(x) = ( f_ij(x))_{(i, j)ÎI} で定義すると、これは H の位相の定義により連続です。
　また任意の xÎX と x の近傍 U に対し、xÎO_j Ì U となる j が存在し、X は正則なので、V Ì O_j となる x の近傍 V が存在します。そこで xÎO_i Ì V となる i を取れば O_i Ì O_j つまり (i, j)ÎI となります。
　ゆえに W :º { xÎH | x_{(i, j)} < 1 } と置けば、これは H における f(x) の近傍で、f( y)ÎW なら f_ij( y) < 1 なので yÎO_j Ì U となります。X はHausdorff空間ですから、これは f が一対一であることを意味していますが、更に f が X から H の部分空間 f [X ] への位相同型であることも意味しています。
　一般に可算集合 C に対する [0, 1]^C をHilbert cubeといいますが、これは可分な距離空間で、その部分空間も可分な距離空間です。
　逆に可分な距離空間は、正則で第二可算公理を満たしますから、位相空間 X について、次の３条件は同値であることがわかりました：

(11-18a)	X は第二可算公理を満たす正則空間。
(11-18b)	X はHilbert cubeの部分空間と位相同型。
(11-18c)	X は可分で距離が付く。