集合と位相

　位相空間 X の部分集合 A は、( A )° = Æ のとき希薄であるといい、可算個の希薄な集合の合併と表せる集合を痩せた集合といいます。
　希薄な（痩せた）集合の部分集合はもちろん希薄な（痩せた）集合です。また、痩せた集合の高々可算個の合併は痩せた集合です。特に空集合は希薄な（痩せた）集合なので、希薄でない（痩せていない）集合は元を持ちます。

　A が希薄な集合の列 { R_n | nÎN } の合併で表されるということは、F_n :º R_n と置けば、F_n° = Æ かつ A Ì È{ F_n | nÎN } ということですから、A が痩せているとは、内点を持たない閉集合の可算個の合併に含まれるということと同値です。

　一般に集合の境界は閉集合ですが、必ずしも希薄であるとは限りません。ただし、開集合と閉集合の境界は希薄です。
　実際、開集合 O の境界 ¶O = O \ O が開集合 U を含めば O Ì X \ U となり、右辺は閉なので O Ì X \ U すなわち U Ì O かつ UÇO = Æ となるので U = Æ がわかります。
　また、閉集合 F の境界 ¶F = F \ F° が開集合 U を含めば U は F に含まれる開集合なので、F° に含まれ、したがって U = Æ です。

　Y が位相空間 X の稠密で痩せた部分集合なら、Y はそれ自身を位相空間とみなしても痩せています。
　実際、Y は X の痩せた部分集合ですから、X で内点を持たない閉集合の可算列 { F_n | nÎN } が存在して Y Ì È{ F_n | nÎN } となります。ゆえに、各 F_nÇY が位相空間 Y で内点を持たないことを証明すれば十分です。
　そこで O' Ì F_nÇY を Y の開集合とすると、X の開集合 O が存在して O' = OÇY となります。すなわち (O \ F_n )ÇY = Æ となりますが、O \ F_n は開集合ですから (O \ F_n )ÇY  = Æ となり、Y  = X ですから O \ F_n = Æ すなわち O Ì F_n となり、F_n は内点を持たないので O = Æ すなわち O' = Æ となって証明されました。
　従って特に、痩せていないHausdorff一様空間は、その完備化の中の痩せていない部分集合です。よって特に痩せていないHausdorff一様空間は完備化も痩せていないことがわかります。

　さて、開集合 O の補集合が希薄であるための条件は、X \ O が閉集合であることから、X \ O = O^e = (X \ O)° = Æ すなわち O = X 、つまり O が X で稠密であることです。
　ところで O を開集合、閉集合 F_n の補集合を O_n と書くと、O Ì È{ F_n | nÎN } と OÇ(Ç{ O_n | nÎN }) = Æ は同値ですから、O が痩せているための必要十分条件は、X で稠密な開集合の列で、それらと O の交わりが空であるものが存在することです。

　任意の空でない開集合が痩せていない位相空間をBaire空間といいます。

　ここで局所コンパクト空間と完備距離空間はBaire空間であることを証明しましょう。
　X が完備な距離空間の場合は「数学の基礎」第26節 (26-45) で既に証明されていますから、X が局所コンパクトの場合のみ証明します。
　X の空でない開集合 O と X で稠密な開集合の列 { O_n | nÎN } を任意に取ります。以下、帰納法で、X の空でない相対コンパクトな開集合の列 { G_n | nÎN } を

(14-1a)  G0 Ì O

(14-1b)  Gn Ì On

(14-1c)  Gn Ì Gn-1

となるように構成していきます。
　まず、O ¹ Æ かつ O₀ は X で稠密ですから、O' :º OÇO₀ は空でない開集合なので G₀ :º O' と置きます。
　次に G_i が i < n まで構成できたと仮定します。G_n-1 ¹ Æ かつ O_n は X で稠密なので、O' :º G_n-1 ÇO_n は開集合で元 a を持ちます。
　ここで X が局所コンパクトであることから、a のコンパクト近傍で O' に含まれるものが存在しますから、aÎG_n Ì G_n Ì O' となる相対コンパクトな開集合 G_n が存在し、(14-1c) が成り立ちます。
　以上で (14-1) を満たす { G_n | nÎN } が構成できました。ここで { G_n | nÎN } はコンパクト集合 G₁ 上のフィルター基底なので集積点 a を持ち、 aÎG_n+1 Ì G_n Ì OÇO_n により

(14-2)  OÇ(Ç{ On | nÎN }) É Ç{ Gn | nÎN } É Ç{ Gn | nÎN } ¹ Æ

ですから、冒頭の注意により O は痩せていないことがわかりました。O は任意ですから X はBaire空間です。

　次に、A を位相空間 X の任意の部分集合とするとき、GÇA が痩せている最大の開集合 G が存在することを証明しましょう。
　A との交わりが痩せていて、かつ互いに交わらない X の空でない開集合からなる族 O の全体を A とし、A の全体に包含関係により順序を入れます。このとき ÆÎA ですから A は空でなく、A の全順序部分集合 A' を任意に取ると、明らかに ÈA' は A' の上限です。
　よってZornの補題により、A には極大元 O が存在します。このとき G' :º ÈO と置くと、G :º ( G' )° が求める開集合であることを証明しましょう。
　まず GÇA が痩せていることを証明します。各 OÎO に対して OÇA は痩せているので、OÇA = È{ A_O,n | nÎN } かつ ( A_O,n )° = Æ となる集合族が存在します。そこで A_n :º È{ A_O,n | OÎO } 及び A' :º AÇ(G \ G' ) と置きます。これらの閉包が内点を含まないことを証明しましょう。
　実際、U を A_n に含まれる任意の開集合とすると、各 OÎO に対し、A_O,nÈ(X \ O) は A_n を含む閉集合なので、U Ì A_n Ì A_O,nÈ(X \ O) 、言い換えると UÇO Ì A_O,n となります。 ところが A_O,n は内点を含まないので UÇO = Æ となりますが、OÎO は任意なので UÇG' = Æ すなわち G' Ì X \ U となり、この右辺は閉集合であることと A_n Ì G' により、U Ì A_n Ì G' Ì X \ U となって、U = Æ であることがわかります。
　次に U を A' に含まれる任意の開集合とすると、X \ G' は A' を含む閉集合なので、U Ì A' Ì X \ G' すなわち G' Ì X \ U となりますが、右辺は閉集合で A' Ì G なので、U Ì A' Ì G Ì G' Ì X \ U となって、U = Æ であることがわかります。
　ゆえに、GÇA = A' È(È{ A_n | nÎN }) となって、GÇA は希薄な集合の可算個の合併と書け、従って痩せた集合であることがわかりました。
　さて、OÇA が痩せているような任意の開集合 O は G に含まれます。実際、もし O' :º O \ G' ¹ Æ とすると、O È{ O' } は O より真に大きい A の元となって O の極大性に反するので、O' = Æ すなわち O Ì G' となり、G は G' の内部ですから O Ì G となります。
　以上で G は GÇA が痩せている最大の開集合であることがわかりました。

　以上のようにして存在が証明された、A との交わりが痩せている最大の開集合の補集合を b(A) と書いて、A のBaire閉包とよび、b(A) の内部を o(A) と書いてBaire開核とよびます。A の補集合は A との交わりが空な開集合ですから、定義により b(A) の補集合に含まれます。すなわち

(14-3)  b(A) Ì A

が成り立ちます。
　また、X の任意の部分集合 A に対して A \ b(A) = AÇ(X \ b(A)) は定義により痩せた集合ですが、b(A) \ o(A) = ¶b(A) は閉集合の境界なので希薄、従って痩せていますから、A \ o(A) も痩せた集合です。
　ゆえに o(A) の閉包の補集合は、A との交わりが痩せているので X \ b(A) に含まれます。また定義から o(A) の閉包は b(A) に含まれるので、

(14-4)  o(A) = b(A)

　また A が痩せていれば、XÇA は痩せているので b(A) = Æ 、従って o(A) = Æ です。逆に o(A) = Æ なら A = A \ o(A) は痩せた集合です。すなわち A が痩せた集合であることと b(A) = Æ であることと o(A) = Æ であることはすべて同値です。

　さて、{ A_n | nÎN } を X の部分集合の列、A をその合併とするとき、

(14-5)  F :º b(A) \ È{ o(An ) | nÎN }

は閉集合ですが、これは実は希薄な集合です。
　実際、U Ì F を開集合とすると、任意の nÎN に対し、UÇo(A_n ) = Æ ですから UÇA_n = UÇ(A_n \ o(A_n )) は痩せた集合です。従って、その可算個の合併 UÇA = È{ UÇA_n | nÎN } も痩せた集合で、従って U Ì X \ b(A) となり、一方で U Ì F Ì b(A) ですから U = Æ がわかります。

　一般に、空でないBaire空間 X は、それ自身空でない開集合ですから痩せていません。ところが X が位相群の場合は、逆に X 自身が痩せていなければ X はBaire空間です。
　実際、位相群 X がBaire空間でなければ、空でない痩せた開集合 O が存在します。aÎO を取れば、左から X の元を乗じる演算は位相群 X の同型写像ですから U :º a^-1O は原点のやせた開近傍です。
　ゆえにもし o(X ) ¹ Æ なら、bÎo(X ) を取れば、bU は b の痩せた開近傍で、V :º bUÇo(X ) は空でない痩せた開集合ですから、Baire閉包の定義により V Ì X \ b(X ) Ì X \ o(X ) となって、Æ ¹ V Ì o(X ) と矛盾します。
　従って o(X ) = Æ がわかり、これは X 自身が痩せていることを意味します。

　さて、Baire空間は解析学で重要な役割を果たしますが、ここでそのような一例を挙げましょう。
　F をBaire空間 X から R への下半連続（第11節参照）な関数の族が、各点で有界、すなわち

(14-6)  "xÎX : sup { j(x) | jÎF } < ¥

を満たすならば、F は、ある点 aÎX のある近傍 U で一様有界、すなわち

(14-7)  sup { j(x) | jÎF , xÎU } < ¥

が成り立つことを証明しましょう。f : X ® R を

(14-8)  f(x) = sup { j(x) | jÎF }

で定義すると、

(14-9)  f -( ]a, ®[ ) = È{ j-( ]a, ®[ ) | jÎF }

は開集合ですから f も下半連続です。また条件 (14-6) により f は有限な実数値です。よって F_n :º f ^-( ]¬, n] ) と置くと、]¬, n] は閉集合なので、f の下半連続性によりこれは X の閉集合で、f の有界性により X = È{ F_n | nÎN } となります。ところが X は痩せていないので、少なくとも一つの F_n は内点 a を持ちます。ゆえに F_n の内部を U と置けば、f は U 上 n 以下であることがわかります。