集合と位相

　X を集合、( Y, U ) を一様空間とするとき、F (X, Y ) で X から Y への写像の全体からなる集合を表すことにします。
　UÎU に対して

(17-1)  UX :º { ( f, g)ÎF (X, Y )² | "xÎX : ( f(x), g(x))ÎU }

と置きます。このとき、任意の fÎF (X, Y ) に対して ( f, f )ÎU_X で、(U_X )^-1 = (U ^-1)_X と U_{X °} V_X Ì (U _° V )_X が成り立ちますから、{ U_X | UÎU } は集合 F (X, Y ) 上の一様構造を定めることがわかります。これを一様収束の一様構造とよび、この一様構造を持つ一様空間を F_u(X, Y ) と書きます。これは U がHausdorffならHausdorffです。

　B を X の部分集合からなる族とします。AÎB に対して i_A : F (X, Y ) ® F_u(A, Y ) を i_A( f ) :º  f |_A で定義し、F (X, Y ) に { i_A | AÎB } による導入一様構造を与えた一様空間を F_B(X, Y ) と書き、B -一様収束の一様構造といいます。
　特に X の一点からなる集合の全体 { {a} | aÎX } を B としたとき、これを各点収束の一様空間といって F_s(X, Y ) と書きます。これは一様空間として Y ^X に一致しますから、特に Y が（プレ）コンパクトなら（プレ）コンパクトです。
　また X が位相空間のとき、X のコンパクト集合の全体を B と置いて、これをコンパクト一様収束の一様空間といい、F_c(X, Y ) と書きます。

　X の部分集合からなる族 B に対し、その有限個の合併に含まれる集合の全体を、B の生成するコフィルターとよんで cof B と書くことにします（コフィルターの語は、フィルターの定義と包含関係が逆になっていることによる私の造語です）。
　有限族 { A_i | iÎI } Ì B に対し、A :º È{ A_i | iÎI } と置くと、A' Ì A に対し、

(17-2)  Ç{ UAi | iÎI } = UA Ì UA'

ですから、F_B(X, Y ) = F_{cof B}(X, Y ) であり、従って cof B Ì cof B' なら F_B' (X, Y ) は F_B(X, Y ) より強い一様空間になります。従って特に、ÈB = X なら、F_B(X, Y ) は F_s(A, Y ) より強いことがわかります。
　また更に、有限族 { U_j | jÎJ } Ì U に対して、U :º Ç{ U_j | jÎJ } と置くと、

(17-3)  Ç{ Uj Ai | iÎI , jÎJ } = UA

ですから、特に ( Y, U ) に距離が付き、B が可算基底を持つ、すなわち可算集合 B' が存在して B = cof B' となるならば、F_B(X, Y ) の一様構造は可算基底を持ち、従って距離が付きます。

　さて、F_B(X, Y ) は、Y がHausdorff で ÈB = X ならHausdorffです。
　実際、f, gÎF_B(X, Y ) が f ¹ g なら、ある aÎX に対して f(a) ¹ g(a) ですから ( f(a), g(a))ÏU となる UÎU が存在し、aÎA となる AÎB が存在するので ( f, g)ÏU_A となるからです。

　また F_B(X, Y ) は、Y が完備なら完備です。
　実際、Φ が F_B(X, Y ) のコーシー・フィルターとすると、各 xÎÈB に対し、Φ_x :º { F(x) | FÎΦ } は Y のコーシー・フィルターなのである f(x) に収束します。xÎX \ ÈB に対しては任意に f(x)ÎY を選べば fÎF_B(X, Y ) が定まりますが、このとき Φ は f に収束します。
　なぜなら、任意の AÎB と閉集合であるような任意の UÎU に対し、FÎΦ が存在して g, hÎF かつ xÎA なら (g(x), h(x))ÎU となりますが、Φ_x が f(x) に収束することから、任意の gÎF かつ xÎA なら (g(x), f(x))Î U  = U となり、これは Φ が f に収束することを意味しています。

　今後、B を集合 X の部分集合からなる集合、E を F (X, Y ) の部分集合とするとき、E に F_B(X, Y ) の部分一様構造を入れた一様空間を E_B と書くことにします。E_u , E_s あるいは X が位相空間の場合に E_c といった記号も用いることにします。

　B を X の被覆とし、E を F (X, Y ) の部分集合 とします。
　Y ² の閉集合からなる Y の一様構造の基底を U とするとき、各 aÎX に対する U_{a}ÇE ² は E_s² の閉集合です。
　一方 E_B の一様構造の基底 { U_AÇE ² | AÎB , UÎU } の各元は、U_AÇE ² = Ç{ U_{a}ÇE ² | aÎA } と書けるので、これは E_s² の閉集合です。ゆえに E_B は E_s² の閉集合からなる一様構造の基底を持つので、第10節の結果を適用すれば、E_s が完備なら E_B も完備であることがわかります。

　X から Y への写像のうち、すべての AÎB の像がプレコンパクトになるようなものの全体 C は F_B(X, Y ) の閉部分空間です。
　実際、fÎC とし、AÎB と UÎU を任意に取ります。ここで V _° V Ì U となる VÎU を取ると、(g, f )ÎV_A となる gÎC が存在します。仮定により g[A] はプレコンパクトなので、Y の有限集合 F が存在して g[A] Ì V [F] となるので f [A] Ì V [g[A]] Ì V [V [F ]] Ì U [F ] となり、これは任意の AÎB に対して f [A] がプレコンパクト、すなわち fÎC であることを意味していますから、C は閉集合です。

　特に Y が完備である場合を考えると、一様空間 C_B は完備であることがわかります。

　X が位相空間のとき、X から Y への連続写像の全体を C (X, Y ) と書きます。これは F (X, Y ) の部分集合ですが、F_B(X, Y ) の部分空間としての一様空間を C_B(X, Y ) と書き、C_u(X, Y ) , C_s(X, Y ) , C_c(X, Y ) といった記法も用います。なお、C_u(X, Y ) は単に C (X, Y ) と書くこともあります。
　一様空間 C_B(X, Y ) は、Y がHausdorffで ÈB が X で稠密ならHausdorffです。

　fÎF_u(X, Y ) が C (X, Y ) の閉包に属すとすると、任意の UÎU に対し、V _° V _° V Ì U となる対称な VÎU を取ると、( f, g)ÎV_X となる gÎC (X, Y ) が存在します。g は連続ですから、任意の xÎX に対して x の近傍 W が存在して任意の yÎW に対して (g(x), g( y))ÎV となります。
　一方、( f(x), g(x))ÎV , (g( y), f( y))ÎV ですから ( f(x), f( y))ÎV _° V _° V Ì U となって、これは f が x で連続であることを示しています。x は任意なので、f は連続、すなわち fÎC (X, Y ) が得られ、C (X, Y ) は F_u(X, Y ) の閉部分空間であることがわかりました。

　従って特に、Y が完備なら C (X, Y ) も完備です。
　このことから、Y が完備で、u : X ® Y がすべての AÎB 上連続なら連続であれば、C_B(X, Y ) は完備であることもわかります。
　例えば Y が局所コンパクト空間又は距離空間で、B が X のコンパクト集合の全体からなる集合の場合はこの条件が満たされます。実際、前者の場合は自明ですが、後者の場合、列的に連続なら連続なので、任意の収束点列に対し、その収束点列にその極限点を付け加えた集合はコンパクト集合だからです。

　X を集合、( Y, U ) を一様空間、E を F (X, Y ) の部分集合とするとき、各 xÎX と fÎE に対し、i_x( f ) :º f(x) とおけば i_xÎF (E , Y ) となるので、x に i_x を対応させる写像を i と書けば、i は X から F (E , Y ) への写像を定めます。

　更に X が位相空間のときは、定義により、i : X ® F_s(E , Y ) が（xÎX で）連続なことと、E の各元が（xÎX で）連続であることは同値です。
　そこで、i : X ® F_u(E , Y ) が（xÎX で）連続なとき、E は（xÎX で）同程度連続であるということにします。

　また、X が一様空間のときは、i : X ® F_s(E , Y ) が一様連続なことと、E の各元が一様連続であることは同値です。
　そこで、i : X ® F_u(E , Y ) が一様連続なとき、E は同程度一様連続であるということにします。

　明らかに、E が（xÎX で）同程度（一様）連続なら、E の各元は（xÎX で）（一様）連続ですが、逆に（xÎX で）（一様）連続な写像からなる有限集合は（xÎX で）同程度（一様）連続です。
　また、同程度一様連続なら同程度連続ですが、特に X がコンパクトな場合は、X 上の連続写像はすべて一様連続ですから、同程度連続性と同程度一様連続性は同じ意味になります。

　定義により、E Ì F (X, Y ) の xÎX での同程度連続性は、x の近傍系を V (x) と書けば、

(17-4)  "UÎU : $VÎV (x) : "fÎE : "yÎV : ( f(x), f( y))ÎU

と表すことができます。同様に、E Ì F (X, Y ) の同程度一様連続性は、X の一様構造を U' と書けば、

(17-5)  "UÎU : $VÎU' : "fÎE : "x, yÎV : ( f(x), f( y))ÎU

と表すことができます。
　この (17-4),(17-5) で、閉集合であるような U を取ることにより、E の F_s(X, Y ) における閉包も同程度（一様）連続であることがわかります。

　さて、X を集合、Y を一様空間、E を F (X, Y ) の部分集合とすれば、i : X ® F_u(E , Y ) の像 i[X ] は F_u(E_u , Y ) の同程度一様連続集合です。
　実際、写像 k : E_u ® F_u(i[X ], Y ) を、fÎE , xÎX に対して k _f (i_x) :º i_x( f ) = f(x) で定義するとき、k の一様連続性を示せば十分ですが、 U を Y の一様構造とするとき、任意の f, gÎE と UÎU に対して (k _f , k_g)ÎU_i[X]  Û  "xÎX : (k _f (i_x) , k_g(i_x))ÎU  Û  "xÎX : ( f(x), g(x))ÎU  Û  ( f, g)ÎU_X ですから、k の一様連続性は明らかです。

　次に、位相（一様）空間 X と、一様空間 ( Y, U ) と、F (X, Y ) の同程度（一様）連続な部分集合 E に対し、X の相対（プレ）コンパクト集合からなる集合 B の和集合 ÈB が X で稠密ならば、そのような B に対する E_B の一様構造はすべて一致することを証明しましょう。
　そのためには、D :º ÈB の有限部分集合全体を B' とし、X の（プレ）コンパクト集合全体を B" とするとき、E_B' = E_B" を証明すれば十分です。
　まず X が位相空間の場合を考えます。任意に与えられた X のコンパクト集合 K と UÎU に対し、U'ÎU を、U' ^-1 = U' と U' _° U' _° U' _° U' _° U' Ì U が成り立つように取ると、E の同程度連続性により、各 xÎK に対し、

(17-6)  Vx :º{ yÎX | "fÎE : ( f(x), f( y))ÎU' }

は x の近傍です。K はコンパクトですから、K の有限部分集合 F が存在して K Ì È{ V_x | xÎF } とできます。D は稠密ですから、各 xÎF に対して x'ÎDÇV_x が存在するので F' :º { x' | xÎF } と置きます。
　さて、任意に ( f, g)ÎU'_F' と zÎK を取ると、zÎV_x となる xÎF が存在するので、これと z'ÎV_x により、(17-6) から

(17-9a)  ( f(z), f(x)) , ( f(x), f(x')) , (g(x'), g(x)) , (g(x), g(z))ÎU'

が成り立ち、また x'ÎF' なので、( f, g)ÎU'_F' により

(17-9b)  ( f(x'), g(x'))ÎU'

が成り立ちます。ゆえに (17-9) により ( f(z), g(z))ÎU' _° U' _° U' _° U' _° U' Ì U となり、zÎK は任意ですから、( f, g)ÎU_K が成り立つことがわかります。すなわち U'_F' Ì U_K が示され、両一様構造は一致することが証明されました。
　次に X が一様構造 U' を持つ一様空間の場合を考えます。任意に与えられた X のプレコンパクト集合 A と UÎU に対し、U'ÎU を上と同様に取ると、E の同程度一様連続性により、

(17-8)  V :º{ (x, y)ÎX ´ X | "fÎE : ( f(x), f( y))ÎU' }

は U' に属します。一方 A はプレコンパクトですから、X の有限部分集合 F が存在して A Ì V [F] となります。D は稠密ですから、各 xÎF に対して x'ÎDÇV(x) が存在するので F' :º { x' | xÎF } と置きます。
　さて、任意に ( f, g)ÎU'_F' と zÎA を取ると、zÎV(x) となる xÎF が存在するので、これと z'ÎV(x) により、(17-8) から (17-9) が得られます。したがって ( f(z), g(z))ÎU' _° U' _° U' _° U' _° U' Ì U となり、zÎA の任意性により、( f, g)ÎU_A が成り立つことがわかります。すなわち U'_F' Ì U_A が示され、両一様構造は一致することが証明されました。

　以上の結果から、特に X が（プレ）コンパクト空間の場合、F (X, Y ) の同程度（一様）連続な部分集合 E に対し、各点収束の一様構造と一様収束の一様構造は一致することがわかります。

　さて、X を位相空間、Y を一様空間とするとき、C_u(X, Y ) のプレコンパクト部分集合は同程度連続です。
　実際、E を C_u(X, Y ) のプレコンパクト部分集合とします。既に示したように、i : X ® F_u(E , Y ) の像 i[X ] は F_u(E_u , Y ) の同程度一様連続集合で、しかも E_u はプレコンパクトですから、直前に得た結果により i[X ] の各点収束の一様構造と一様収束の一様構造は一致します。
　ところが E Ì C (X, Y ) ですから i : X ® F_s(E , Y ) は連続、すなわち i : X ® i[X ]_s は連続で、しかも i[X ]_s = i[X ]_u なので、これは i : X ® i[X ]_u が連続、すなわち i : X ® F_u(E , Y ) が連続であることを意味し、定義により E は同程度連続です。

　同様に、X と Y を一様空間とするとき、X から Y への一様連続写像全体からなる集合 U(X, Y ) に一様収束の一様構造を入れた空間 U_u(X, Y ) のプレコンパクト部分集合は同程度一様連続です。

　以上の結果をもとに、次の定理を証明することができます：

　まず X がプレコンパクトである場合を先に証明します。
　必要条件のうち、E の同程度一様連続性は、既に証明したとおりです。また i[X ] Ì U(E_u , Y ) ですから、各 xÎX に対して E (x) はプレコンパクト集合 E_u の一様連続像 i_x[E_u] に他ならず、従ってプレコンパクトです。
　次に十分条件ですが、各 xÎX に対して E (x) がプレコンパクト集合であることから、これらの積一様空間 Z :º Õ{E (x) | xÎX } はプレコンパクトで、従ってその部分空間 E_s もプレコンパクトです。一方 E は同程度一様連続集合で、X はプレコンパクトですから、既に得た結果により E_s と E_u は一致します。以上で E_u はプレコンパクトであることがわかり、十分性も証明されました。
　今度は X がコンパクトである場合を考えます。
　必要条件を示す際に、E のかわりにそれを含むコンパクト集合を考えればよいので、E はコンパクトと仮定できます。このとき、E の同程度連続性は、既に証明したとおりです。また i[X ] Ì U(E_u , Y ) ですから、各 xÎX に対して E (x) はコンパクト集合 E_u の連続像 i_x[E_u] に他ならず、従ってコンパクトです。
　次に十分条件ですが、各 xÎX に対して E (x) があるコンパクト集合 K _xÌ Y に含まれることから、これらの積位相空間 Z :º Õ{K _x | xÎX } はコンパクトで、従ってその部分集合である E の Z における閉包 E もコンパクトです。一方 E は同程度連続集合ですから、その F_s(X, Y ) における閉包に含まれる E も同程度連続です。一方 X はコンパクトですから、既に得た結果により E_s と E_u は一致します。以上で E_u はコンパクトであることがわかり、十分性も証明されました。

　なお、Ascoli-Arzelàの定理の系として、X を局所コンパクト又は距離空間、Y をHausdorff一様空間とするとき、C_c(X, Y ) の部分空間 E が相対コンパクトであるためには、同程度連続で、かつ各 xÎX に対して E (x) が相対コンパクトであることが必要十分であることがわかります。
　実際、K を X のコンパクト集合とすると、E が C (K, Y ) で相対コンパクトであることと、C (K, Y ) で同程度連続かつ各 xÎK に対して E (x) が相対コンパクトであることは同値です。
　一方、X のコンパクト集合の全体を K と書くと、Y がHausdorffであることと、X 上の写像はコンパクト集合上連続なら連続であることから、C_c(K, Y ) は Õ{C (K, Y ) | KÎK } の閉部分集合です。ゆえに E が C_c(X, Y ) で相対コンパクトであることと、すべての KÎK に対して C (K, Y ) で相対コンパクトであることは同値です。
　他方、E がすべての KÎK に対して C (K, Y ) で同程度連続である、すなわち各 i|_K : K ® F_u(E , Y ) が連続であることと、i : X ® F_u(E , Y ) が連続である、すなわち E が C (X, Y ) で同程度連続であることは同値です。
　以上でこの系は証明されました。

　次はDiniの定理です。

　実際、任意の e > 0 に対し、F_n :º { xÎX |  f_n(x) ³ e } と置けば、仮定によりこれは n について単調減少な閉集合の列で、しかもそれら全体の共分は空集合です。よって X のコンパクト性により、{ F_n | nÎN } は有限交叉性を持たないことがわかり、単調減少列であることから、ある F_n が空であることがわかります。これは "xÎX : f_n(x) < e 、すなわち {  f_n | nÎN } が一様に 0 に収束することを意味しています。

　この節の最後に、位相線形空間論で有名な、弱コンパクト性に関するEberlein-Šmulianの定理の証明に用いられる補題（略してEberlein, Šmulianの補題）を証明しておきましょう：

　その証明ですが、まず D :º ÈB が X で稠密である場合を考えます。
　K を C_B(X, Y ) のコンパクト集合とし、任意に点列 { f_n | nÎN } を取ります。この点列の K における閉包を K ' とすると、これはコンパクト集合 K の閉部分集合なのでコンパクトです。従って K ' が点列コンパクトであることを示せば十分です。
　X 上の同値関係 x ~ y を "nÎN : f_n(x) = f_n( y) で定義すれば、同値関係 ~ と両立する、すなわち x ~ y  Þ  f(x) = f( y) となる fÎC (X, Y ) の全体は閉集合になりますから、K ' の元はすべて ~ と両立します。
　ここで商空間 X/~ とその標準写像 p : X ® X/~ を考え、p* : C_B' (X/~, Y ) ® C_B(X, Y ) を p*( f ) :º f _° p で定義すれば、これは単射で、その像の中への位相同型です（ただし、B' :º p⁺[B] です）。ゆえに C_B' (X/~, Y ) のコンパクト集合 K " が存在して K ' = p*[K "] と書けます。
　一方、{ f_{n °} p^-1 | nÎN } による X/~ の導入位相は、コンパクト空間 X/~ の位相より弱いHausdorff位相なので X/~ の位相と一致し、しかも可算個の距離空間の上限一様構造に伴う位相ですから距離空間です。ゆえに、コンパクト距離空間ですから特に可分です。
　一方、p の連続性と D = X により、p[D] É p[D] = p[X ] = X/~ ですから p[D] は可分な距離空間 X/~ の稠密な部分集合なので、p[C] が X/~ で稠密であるような D の可算部分集合 C が存在します。
　そこで Q :º { {a} | aÎC } 、Q' :º p⁺[Q ] と置けば、C_Q' (X/~, Y ) は Q' が可算、Y が距離空間なので、一様構造が可算基底を持ちますが、更に Y がHausdorffで ÈQ' は X/~ で稠密なのでHausdorffであり、従って距離空間になります。ゆえに K "_Q' は距離空間で、コンパクトHausdorff空間 K "_B' の位相より弱いので、両位相は一致し、K "_B' はコンパクト距離空間です。ゆえにこれは点列コンパクトで、その p* による像 K '_B も点列コンパクトです。以上で補題は証明されました。

　実際、まず一般論として、可算コンパクトならプレコンパクトなので（第10節参照）、C_B(X, Y ) の任意の可算コンパクトな集合 K が完備な集合に含まれることを証明すれば十分です。なぜなら C_B(X, Y ) はHausdorffなので、その完備な部分集合は閉集合であり、従ってこのとき K の閉包は、この完備な集合の閉部分集合になるので完備なプレコンパクト集合、すなわちコンパクト集合になるからです。
　しかも C_B(X, Y ) の部分集合が可算コンパクトなら、それより弱い C_s(X, Y ) でも可算コンパクトであり、また既に示したように、C_s(X, Y ) の部分集合が完備なら C_B(X, Y ) でも完備ですから、B が各点収束の一様構造の場合にのみ証明すれば十分です。
　一方、任意の xÎX に対して Y の部分集合 K(x) は可算コンパクト集合 K の連続像ですから可算コンパクトですが、これは距離空間ですから、実はコンパクトです（第10節参照）。
　ゆえに Õ{ K(x) | xÎX } はHausdorff一様空間 F_s(X, Y ) のコンパクト集合ですから、K Ì Õ{ K(x) | xÎX } の F_s(X, Y ) における閉包を K と書けば、これは F_s(X, Y ) のコンパクト（従って完備）な部分空間です。ゆえにあとは、K Ì C (X, Y ) を証明すれば十分です。
　以下、これを帰謬法で証明します。もしある fÎK が aÎX で不連続だったと仮定すると、d を Y の距離とするとき、正数 e が存在し、次の性質を持つ点列 { x_i | i ³ 0 } Ì X と { f_k | k > 0 } Ì K が構成できることを、k に関する帰納法で証明しましょう：

(17-9a)  x0 = a

(17-9b)  d( f(xi), fk(xi)) £ k-1       ( i < k )

(17-9c)  d( fi(a), fi(xk)) £ k-1       ( 0 < i £ k )

(17-9d)  d( f(a), f(xk)) ³ e       ( k > 0 )

　実際、まず f が a で不連続なので、e > 0 が存在して、a の任意の近傍に d( f(a), f(x)) ³ e を満たす点 x が存在します。
　そこで、i < k に対して x_i , f_i が (17-9) を満たすように取れたとします。まず fÎK により f の近傍 { gÎF (X, Y ) | "i < k : d( f(x_i), g(x_i)) £ 1/k^-1 } と K は交わるので、そこから元を取り、これを f_k とします。以上で帰納法が完成しました。
　次に、1 £ i £ k に対して f_i は連続なので、{ xÎX | "i £ k : d( f_i(a), f_i(x)) £ k^-1 } は a の近傍ですから、そこから d( f(a), f(x)) ³ e を満たす元 x を取り、これを x_k とします。
　さて、X , K は共に可算コンパクトですから、{ x_i | i ³ 0 } と { f_k | k > 0 } はそれぞれ集積点 bÎX と gÎK を持ちます。
　すると、まず (17-9b) により

(17-10)  f(xi) = g(xi)       ( i ³ 0 )

が成り立ち、また f_i の連続性と (17-9c) により

(17-11)  fi(a) = fi(b)       ( i > 0 )

が成り立ちます。まず (17-10) で i = 0 とすることにより f(a) = g(a) が得られ、(17-11) と g が { f_k | k > 0 } の集積点であることから g(a) = g(b) が得られるので f(a) = g(b) となります。ゆえにこれと (17-10) を (17-9d) に代入すれば、

(17-12)  d(g(b), g(xk)) ³ e       ( k > 0 )

が得られ、b が { x_i | i ³ 0 } の集積点であることと g の連続性に反します。以上で補題は証明されました。